If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 5

Урок 3: Еквивалентни системи уравнения и метод на елиминирането

Решаване на системи от уравнения чрез елиминиране (старо)

Едно старо видео, в което Сал въвежда метода на елиминирането за системи от линейни уравнения. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека да разгледаме още няколко метода за решаване на системи от уравнения. Нека кажем, че имам уравнението 3x плюс 4y е равно на 2.5. И имам друго уравнение 5x минус 4y е равно 25.5. Искаме да намерим стойностите на x и y, които удовлетворяват и двете от тези уравнения. Ако помислите за това графично, това ще бъде пресечната точка на линиите, които представляват решенията на двете от уравненията. И така, как можем да постъпим? Видяхме, че при заместването, искаме да премахнем една от променливите. Направихме го чрез заместване последния път. Но има ли нещо, което можем да добавим или да извадим - нека се съсредоточим на това жълтото, на това горното уравнение тук - има ли нещо, което можем да добавим или извадим от двете страни на това уравнение? Не забравяйте, че всеки път, когато работите с едно уравнение, трябва да добавите или извадите едно и също нещо и за двете страни. Но има ли нещо, което бихме могли да добавим или извадим от двете страни на това уравнение, което може да премахне една от променливите? И тогава ще имаме едно уравнение с една променлива и ще можем да го решим. И това вероятно не е очевидно, въпреки че стои точно пред очите ви. Какво ще стане, ако просто добавим това уравнение към това уравнение? Това, което имам в предвид е: какво ще стане, ако добавим 5х минус 4y към лявата страна и добавим 25.5 към дясната страна? Ако трябваше буквално да добавя това към лявата страна, да добавя това към дясната страна. И вероятно ще кажете: Сал, почакай, как може просто да добавиш две уравнения по този начин? Не забравяйте, че когато правите някакво уравнение, ако имам някакво уравнение с формата - добре, наистина всяко едно уравнение - Ах плюс Ву е равно на C, ако искам да направя нещо с това уравнение, просто трябва да добавя едно и също нещо и към двете страни на уравнението. Така че бих могъл например, мога да добавя D към двете страни на уравнението. Тъй като D е равно на D, аз няма да променя уравнението. Ще получите Ax плюс Ву, плюс D е равно на C плюс D. Виждали сме това много, много пъти. Всичко, което правите с едната страна на уравнението, трябва да го направите и към другата страна. Но вие казвате: хей, Сал, почакай, от лявата страна, ти добавяш 5x минус 4y към уравнението. От дясната страна добавяш 25.5 към уравнението. Не добавяш ли две различни неща към двете страни на уравнението? И моят отговор ще бъде не. Знаем, че 5x минус 4y е 25.5. Това количество и това количество са едни и същи. Те и са двете 25.5. Това второ уравнение ми го казва изрично. Така че, мога да добавя това към лявата страна. Аз добавям по същество 25.5 към него. И мога да добавя 25.5 към дясната страна. Така че, нека да направим това. Ако добавим лявата страна, 3x плюс 5x е 8 x. И след това, колко е 4y минус 4y? И в това е целият смисъл. Когато гледах тези две уравнения, аз казах: о, имам 4y, имам и минус 4 y. Ако просто добавите тези двете заедно, те ще се анулират. Те ще бъдат плюс 0y. Или целият този член просто ще изчезне. И това ще бъде равно на 2.5 плюс 25.5 е 28. Така че, разделяте и двете страни. Получавате 8x е равно на 28. Разделяте двете страни на 8 и получаваме x е равно на 28 върху 8 или разделяте числителя и знаменателя на 4. Това е равно на 7 върху 2. Това е нашата стойност x. Сега искаме да намерим нашата стойност на y. Можем да заместим това обратно във всяко едно от тези две уравнения. Нека да използваме горното. Можете да го направите също и с долното. И така, знаем, че 3 по х, 3 по 7 върху 2 - просто замествам стойността на x, която намерихме в горното уравнение - 3 по 7 върху 2, плюс 4y е равно на 2.5. Нека просто напиша това като 5/2. Ще останем в света на дробите. Това ще бъде 21 върху 2 плюс 4y е равно на 5/2. Изваждаме 21 върху 2 от двете страни. Така че, минус 21 върху 2, минус 21 върху 2. Лявата страна - просто оставате с 4y, защото тези две момчета се анулират - е равна на - това е 5 минус 21 върху 2. Минус 16 върху 2. Това е минус 16 върху 2, което е същото като - добре, ще го напиша като минус 16 върху 2. Или можем да напишем това като - нека продължим тук отгоре - 4y - просто продължавам в този ред на мисли тук - 4y е равно на минус 8. Разделяте двете страни на 4, и ще получите y е равно на минус 2. И така, решението на това уравнение е x е равно на 7/2, y е равно на минус 2. Това ще бъдат координатите на тяхното пресичане. И можете да ги пробвате и в двете от тези уравнения тук. Нека да проверим, че това удовлетворява също и долното уравнение. 5 по 7/2 е 35 върху 2, минус 4 по минус 2, така че минус - 8. Това се равнява на - да видим, това е 17.5 плюс 8. И това наистина е равно 25.5. Така че, това удовлетворява и двете уравнения. Сега нека да видим, дали можем да използваме нашите новооткрити умения за справянето със словестна задача, нашите новооткрити умения в елиминирането. Тук е казано, Надя и Петър посещават сладкарница. Надя купува 3 шоколадови десерта и 4 плодови рулца за $2.84. Петър също купува 3 шоколадови десерта, но може да си позволи само 1 допълнително плодово руло. Покупката му струва $1.79. Каква е цената на всеки шоколадов десерт и всяко плодово руло? Нека определим някои променливи. Нека просто използваме x и y. Да вземем x е равно на цената на шоколадовия десерт - щях да слагам c и f за плодовото руло, но ще остана с х и y - цена за шоколадов десерт. И нека y да е равно на цената на плодово руло. Добре. И така, какво ни казва това първото твърдение? Надя купува 3 шоколадови десерта, така че цената на 3 десерта ще бъде 3x. Три пъти цената на шоколадов десерт. И 4 плодови рулца. Плюс 4 по y, цената на плодово руло. Това е колко е похарчила Надя. 3 шоколадови десерта, 4 плодови рулца. И това ще струва $2.84. Това е което ни казва първото твърдение. То се превръща в това уравнение. Второто твърдение. Петър също купува 3 шоколадови десерта, но може да си позволи само 1 допълнително плодово руло. Плюс 1 допълнително плодово руло. Стойността на неговата покупка е равна на $1.79. Каква е цената на всеки шоколадов десерт и всяко плодово руло? Ще решим това с помощта на елиминирането. Можете да решите това, използвайки всяка от техниките, които сме виждали досега - заместване, елиминиране, дори графики, въпреки че е малко трудно да виждате нещата с чертане. Как можем да направим това? Не забравяйте, с елиминиране ще добавите - нека се съсредоточим върху това горното уравнение тук. Има ли нещо, което можем да добавим към двете страни на това уравнение, което ще ни помогне да премахнем една от променливите? Или нека го кажа по този начин: има ли нещо, което можем да добавим или да извадим от двете страни на това уравнение, което ще ни помогне да елиминираме една от променливите? Както при задачата, която направихме малко по-рано във видеото, какво ще стане ако извадим това уравнение или какво ще стане, ако извадим 3x плюс y от 3x плюс 4y от лявата страна и извадим $1.79 от дясната страна? И не забравяйте, че правейки това, аз ще извадя едно и също нещо от двете страни на уравнението. Това е $1.79. От къде знам това? Защото се казва, че това е равно на $1.79. Така че, ако направим това, ние ще извадим едно и също нещо от двете страни на уравнението. Така че, нека да извадим 3x плюс y от лявата страна на уравнението. И нека да го направя горе в дясно. Ако извадя 3x плюс y, това е същото нещо като минус 3x минус y, ако просто разпределите отрицателния знак. И така, нека да го извадим. Получавате минус 3x минус y - може би трябваше добре да изясня, че това не е знак плюс; можете да си представите, че умножавам второто уравнение с минус 1 - е равно на минус $1.79. Просто вземам второто уравнение. Можете да си представите, че го умножавам с минус 1 и сега ще добавя към лявата страна, лявата страна на това уравнение и дясната страна към дясната страна на това уравнение. И какво ще получим? Когато добавяте 3x плюс 4y, минус 3x, минус y, 3х се анулират. 3x минус 3x е 0x. Дори няма да го пиша. Получавате 4х минус - съжалявам, 4y минус y. Това е 3y. И това ще бъде равно на $2.84 минус $1.79. Колко е това? Това е $1.05. Така че, 3y е равно на $1.05. Разделяме двете страни на 3. y е равно на - колко е $1.05, разделено на 3? 3 се съдържа в $1.05... Съдържа се в 1 нула пъти. 0 по 3 е 0. 1 минус 0 е 1. Сваляме долу 0. 3 се съдържа в 10 три пъти. 3 по 3 е 9. Изваждаме. 10 минус 9 е 1. Сваляме 5 долу. 3 се съдържа в 15 пет пъти. 5 по 3 е 15. Изваждаме. Нямаме никакъв остатък. Така че, y е равно на $0.35. Цената на плодовото руло е $0.35. Сега можем да заместим обратно в което и да е от тези уравнения, за да намерим цената на шоколадовия десерт. Така че, нека използваме долното уравнение тук. Което първоначално беше, ако си спомняте преди да го умножа по минус 1, то беше 3x плюс y е равно на $1.79. Това означава, че 3x плюс цената на плодово руло, 0.35 е равно на $1.79. Ако извадим 0.35 от двете страни, какво ще получим? От лявата страна - просто оставате с 3x; тези се анулират - е равно на - да видим, това е $1.79 минус $0.35. Това е $1.44. И 3 се съдържа в $1.44, мисля, че се съдържа - добре, 3 се съдържа в $1.44, влиза в 1 нула пъти. 1 по 3 е 0. Сваляме долу 1. Изваждаме. Сваляме долу 4. 3 влиза в 14 четири пъти. 4 по 3 е 12. Правя го разхвърляно. 14 минус 12 е 2. Сваляме долу 4. 3 се съдържа в 24 осем пъти. 8 по 3 е 24. Няма остатък. Така че, х е равно на 0.48. И така, вече го имаме. Намерихме, използвайки елиминиране, че цената на шоколадов десерт е равна на $0.48 и че цената на плодово руло е равна на $0.35.