Системи от уравнения с елиминиране: ябълки и портокали

Намираш се на щанд за плодове, за да си купиш малко свежа продукция. Забелязваш, че човекът пред теб купува 5 ябълки и 4 портокала за 10 долара. Ти вземаш 5 ябълки и 5 портокала за 11 долара. Можем ли да намерим цената на една ябълка и на един портокал, като използваме дадената информация в една система линейни уравнения с две неизвестни? Ако можем, как изглежда решението? Ако не можем, каква е причината за това? Така че се опитваме да намерим цената на една ябълка и цената на един портокал. Ще означа ябълката с "а", но няма да използвам "о" за означаване на портокала, защото "о" доста прилича на нула. Нека ябълките отбележа с х. И нека х е равно на цената на ябълките. Цена на ябълките. И нека у е равно на цената на портокалите. Цена на портокалите. Нека сега опишем какво се е случило с човека на опашката пред нас. Той е закупил 5 ябълки. Колко е похарчил за тези ябълки? Купил е 5 ябълки по х долара за ябълка, един вид похарчени са 5х долара за 5 ябълки. Купил е и 4 портокала. Купени са 4 портокала по у долара за портокал. Т.е. похарчени са 4у за портокали. И цялата похарчена сума е 5х + 4у. И е дадено, че тя е 10 долара. Това е равно на 10 долара. Така, нареждаш се на опашката и купуваш 5 ябълки. Купуваш си 5 ябълки като момчето, което е пред теб. Плащаш х долара за една ябълка. Ще заплатиш 5 ябълки, умножено по цената за една ябълка. Това е сумата, която заплащаш за ябълките. След това купуваш 5 портокала. Ще заплатиш 5 портокала по цената за един портокал, която е у. Това обозначава сумата, похарчена за портокали. Това пък е похарчената сума за ябълки и портокали общо. Дадено е, че тя възлиза на 11 долара. Можем ли да намерим х и у? Изглежда можем. Тук имаме един голям жокер, съотношението между всички х и всички у в тези две уравнения е различно. Един вид тук научаваме нещо повече. Ако съотношението беше едно и също, ако тук имахме 5х + 4у, и сме получили различно число, тогава здравата щяхме да загазим. Защото сме закупили едно и също количество, а имаме различна цена. Но хубавото тук е, че имаме различно количество. Нека видим дали можем да го изчислим. Най-очевидното, което се набива на очи, е фактът, че имам 5х тук и друго 5х тук. Ако мога да извадя това 5х от това 5х, тогава тези х-членове ще се унищожат. И това, което ще направя, е че ще умножа това уравнение долу по –1. Получава се –5х плюс –5у е равно на –11. И тогава ще събера тези две уравнения. Мога да го направя, защото извършвам едно и също нещо от двете страни. Вече знам, че това нещо е равно на това нещо. Така прибавям тези неща към двете страни. И от лявата страна имам 5х минус 5х. Те се унищожават. След това имам 4у минус 5у. А това е минус у. И ще имаме равно на 10 минус 11, което е –1. Тогава умножаваме двете страни тук по –1, или ги делим на –1, ще получим, че у е равно на 1. По този начин успяхме да намерим цената на портокалите. Тя е 1 долар на портокал. Т.е. това е равно на 1. Нека сега намерим цената на ябълките. Можем да се върнем на едното от тези уравнения. Ще отида на първото. Така, 5, умножено по... нека отидем при човека пред нас на опашката. Той си е купил 5 ябълки за х долара на ябълка, плюс 4 портокала за 1 долар за портокал, и е похарчил общо 10 долара. Похарчил е общо 10 долара. Това, разбира се, е 4. Нека извадим 4 от двете страни, и получаваме... 4 пъти по 1 минус 4, тези се унищожават. Ще ни остане само 5х от лявата страна. А от дясната страна имаме 10 минус 4, което е равно на 6. Можем да разделим двете страни на 6, за да намерим х. Така получаваме... О, извинявам се. Можем да разделим двете страни на 5, за да намерим х. Денят преваля. Мозъкът не работи нещо. Делението на 6 нямаше да повлияе на нищо. Щяхме да получим 5/6х. Тук искаме да намерим х. И като разделим на 5, получаваме, че х е равно на 6/5 долара. Или можем да кажем, че х е равно на 6/5, което е равно на 1 и 1/5, което е 1,20 долара. Така получаваме, че един портокал струва 1 долар, а една ябълка е 1,20 долара. Така можем да намерим точно цените на ябълките и портокалите от дадената ни информация.