Трансформиране на синусоидални графики: вертикално мащабиране и осева симетрия спрямо хоризонтална права

От нас се иска да начертаем графика на функцията y = 2sin(-x) в затворен интервал, така че да включва крайните точки -2π и 2π. За да направя това, ще начертая графика на функцията y = sin(x) и после ще помисля за това как тази графика се променя от двойката и от знака минус тук пред х. Нека първо помислим за sin(х). Нека начертая оста х (Ox), както и оста у (Oy). Лесна работа. И ни интересува интервалa между -2π и 2π. Да кажем, че това е -2π, тогава ето тук ще е -π. Това, разбира се, е 0. Тогава това е π и това тук пак е 2π. Това може да е 1, това може да е 2, това може да е -1 и това може да е -2. Нека да копирам това, за да мога да го използвам по-късно, когато наглася графиката. Просто копирам... Така, да помислим за sin(x). Какво става когато синусът е 0? Когато синусът е 0... O, извинете, когато х е 0, sin(0) е 0. Тук ще начертая малка единична окръжност за справка. Обичам да правя това наум, както обичам да намирам стойността на тригонометричните функции. Значи това е х, това е у. Чертая единичната окръжност. И помни, че тук х се отнася към ъгъла. Ето това е единичната ми окръжност с радиус 1. Когато ъгълът е 0, синусът ще бъде тази у координата тук. Тоест sin(0) е 0. Когато синусът се увеличава, отиваме нагоре чак до sin(π/2), което е 1. Тоест sin(π/2) ще ни доведе до 1. Тогава sin(π) ще ни доведе до 0. sin(3π/2) ще ни доведе до -1 и sin(2π) ще ни върне до 0. Ако направя графика, тя ще изглежда ето така. Това е между 0 и 2π и изглежда ето така. Искаме да отидем и в отрицателната посока. Като тръгнем натам, sin(-π/2) е -1. Тогава се връщаме до -π и до нула. -3π/2 – връщаме се обратно ето така и достигаме синус, равен на 1. Значи синусът е равен на 1. После 2π – връщаме се до синус, равен на 0. Следователно кривата ще представлява нещо такова – в отрицателна посока, като се движим между 0 и -2π. И това съвпада с всичко, което знаем за синус. Периодът на sin(x) – виждаш, че тук имаме коефициент 1, тоест периодът ще е 2π върху абсолютната стойност на 1, което очевидно е просто 2π. Или можеш да го видиш тук, на графиката – периодът е 2π. Трябваше ни дължина 2π, за да намерим най-малкия повтарящ се модел. А каква е амплитудата? Движим се между 1 и -1 през цялото време. Разликата между минимума и максимума ни е 2. Половината на това е 1. Друг начин да мислим за това е: отклоняваме се с 1 от средната точка. Това беше ясно. Сега нека малко променим нещата. Да начертаем графиката на y=2sin(x) Ще я начертая. Ето ги осите ми. Искам да ги сложа точно отдолу. Какво ще се случи сега, когато имаме y=2sin(x)? Как ще се промени графиката? Ами, просто сме умножили функцията по 2. Значи стойността ѝ сега ще е два пъти по-голяма. 2 по 0 е 0. 2 по 1 е 2. 2 по 1 е 2. 2 по 0 е 0. Трябва да съм внимателен. 2 по 1 е 2. Това е π/2. 2 по 0 е 0. 2 по -1 е -2. 2 по 0 е 0. Значи изглежда нещо като това между 0 и 2π. Ето как изглежда. И можем да продължим в отрицателна посока. 2 по -1 е -2. 2 по 0 е 0. 2 по 1 е 2. 2 по 0 е 0. Значи в отрицателната посока изглежда нещо такова. Това е най-добрата крива, която мога да начертая. Надявам се, че схващаш идеята. Трябва да изглежда ето така. Какво стана? Ами, разликата между минималната и максималната стойност просто се увеличи 2 пъти. Общата разлика е 4 – половината на тази разлика е 2. Каква е амплитудата ни тук? Амплитудата е 2. Можеш да си представиш това и като абсолютната стойност на 2. Това ни казва здравият разум. Тук амплитудата ни беше 1, но сега се отдалечаваме от тази средна позиция два пъти повече, защото умножаваме по 2. Сега нека се върнем към sin(x) и да го променим по друг начин. Да начертаем графиката на sin(-x). Нека сложа координатните оси и тук. Сега целта ми е да начертая графиката на у=sin(-x). Поне засега игнорирам това 2 тук и отивам директно от sin(x) до sin(-x). Нека помислим за това как ще се променят стойностите. Така, когато х е 0, това пак ще е sin(0), което е 0. Но след това какво става, когато х се увеличава – когато става π/2? Поглеждаме ъгъла, чийто синус ни трябва, и трябва да го умножим по -1. Така че когато х е π/2, всъщност взимаме sin(-π/2). Колко е sin(-π/2)? Тук можем да видим, че е -1. -1. После, когато x е равно на π, виждаме, че sin(-π) е 0. Когато х е 3π/2, ще имаме sin(-3π/2), което е 1. Отново, когато х е 2 , ще имаме sin(-2π), което е 0. Забележи какво се случва, когато правя графиката между 0 и 2π. Точките ми бяха в отрицателна посока. Можеш да си представиш, че вземаме тази част от графиката на y=sinx, която е от отрицателната страна на Ох ето тук, между -2π и 0, и създаваме симетричния ѝ образ, за да ни се получи това. Ето какво прави -х. И по същата логика, когато отиваме в отрицателна посока, когато x = -π/2 и имаме знак минус отпред, ще стане sin(π/2), значи ще е равно на 1. И можеш да направиш това симетрично спрямо оста у. Ето какво всъщност направихме – завъртяхме се и създадохме симетричния образ на графиката на sin(x) спрямо оста у. Или с други думи отразихме графиката на у=sinx спрямо оста у. Това е оста у, надявам се, че виждаш симетрията. Ето какво прави това -х. Нека сега помислим за комбинацията, когато имаме 2 отпред и -х тук. Нека копирам нашите оси още веднъж. И нека опитаме да направим това, което искаха от нас. Ще направя това в нов цвят. Ще взема синьо. Нека направим графиката на y = 2sin(-x). Като съдим по всичко, което направихме досега, как ще изглежда това? Какви преобразувания трябва да направим? Придвижваме се от първоначалното sin(x) до y=2sin(-x). Има два начина да си представим това. Можем да вземем 2sin(x). Тоест тук умножаваме по 2, за да получим два пъти по-голяма амплитуда. Можем да кажем, че завъртам спрямо Оу, за да получа отрицателен х. Какво ще получим с такова завъртане? Нека изясня какво правя. Ако взема интервала между 0 и -2π и го завъртя, това, което беше тук, ще стане симетрично спрямо оста у, и сега имаме... Първо отиваме в отрицателна посока, после се връщаме до 0 и отиваме в положителна посока. И стигаме ето тук. Всичко, което направих, за да стигна от 2sin(x) до 2sin(-x), е, че просто направих симетричен образ спрямо оста у. И после, разбира се, за да открием какво имаме между 0 и -2π, трябва само да погледнем между 0 и 2π. Отиваме нагоре – нагоре и надолу. Да направим това малко по-добре, ще го начертая по-спретнато – надолу, надолу и нагоре. Това е симетричен образ на това, което имахме между 0 и 2π. Виждаме го ето тук. Или пък ако започнем със sin(-x) и достигнем 2sin(-x), забележи какво се случва между sin(-x) и 2sin(-x). Каква е разликата между тази и тази графики? Ами, просто ще имаме два пъти по-голяма амплитуда. Умножаваме това по 2 и получаваме 2 пъти по-голяма амплитуда. Сега имам един последен въпрос към теб. Каква е връзката между периода на 2sin(-x) и периода на sin(-x)? Можем да помислим за това по два начина. Помисли самостоятелно за момент. Имаме два начина. Можем да погледнем графиките ето тук или да помислим за формулата, която, надявам се, вече ти идва интуитивно. Ако искаме да използваме класическата формула, периодът ще бъде 2π, делено на абсолютната стойност на коефициента, за да разберем колко по-бързо ще достигнем 2π. Абсолютната стойност на -1 е просто 1. Получаваме 2π. Тоест имаме съвсем същия период като този на sin(x). И това се вижда – запълваме един цял цикъл на всеки 2π. Сега каква е разликата? Периодът е същият. Но си спомни, че този знак минус има значение. Той не променя периода, но променя начина, по който графиката изглежда. Когато х започне да се увеличава, вместо синусът да е положителен, както е при традиционната синус фунция, тук, х се увеличава, но взимаме синуса на -х. Взимаме синуса на отрицателен ъгъл. И затова започваме с отрицателни стойности на синуса. Можем да помислим за това и по друг начин – това е просто симетричния образ на графиката на sin(x) спрямо оста у. Тези две графики са симетрични образи на тези две графики и обратно. Това има два пъти по-голяма амплитуда от това и това има два пъти по-голяма амплитуда от това.