Графика на функцията y=tan(x)

В това видео ти предлагам да се запознаеш с графиката на тангенс от тита. За тази цел ще начертая малка единична окръжност, за да видим какви са тангенсите на различните ъгли тита. Нека приемем, че това е оста у (Оу), а това е оста х (Ох). Това е оста х, а единичната окръжност ще изглежда горе-долу така. Вече знаем – тук си припомняме определението за единична окръжност при тригонометричните функции – че ако имаме ъгъл тита, където едното рамо е положителната ос х, а другото рамо – това е другото рамо, ъгълът се образува ето така – там, където този лъч пресича единичната окръжност, координатите х и у на тази точка – представляват синус от тита. Извинявам се, координатата х е косинус от тита. Това са косинус от тита и синус от тита. Координатата х тук е косинус от тита. Координатата у е синус от тита. Но нас ни интересува тангенс от тита. Знаем, че тангенс от тита е равно на синус от тита върху косинус от тита. Или ако тръгнем от центъра и вземем стойността на координатата у върху координатата х, получаваме наклона (ъгловия коефициент) на тази права. Това е изменението в стойностите на у върху изменението в тези на х. Това тук горе ще бъде наклонът, на ето този лъч. Това ще ни помогне да визуализираме тангенсите на различните ъгли тита. Нека да изтрием част от единичната окръжност, за да можем да... Готово. Нека сега начертаем една таблица. Нека помислим колко ще бъде тангенс от тита за различните ъгли тита. Тангенс от тита. Най-лесно е може би при тита равно на 0 радиана. Ако тита е 0 радиана, какъв е наклонът на този лъч? Наклонът е равен на 0. Докато х се променя, у не се променя изобщо. Нека помислим. Ще избера стойности, за които е лесно да определим тангенса на ъгъла. Те ще ни помогнат да определим формата на графиката при у равно на тангенс от тита. Нека вземем π върху 4 радиана. Ъгълът тита, ето тук, е равен на π върху 4. Защо е интересно това? Понякога е по-лесно да мислим в градуси. Това е ъгъл от 45 градуса. Нашата координата х и нашата координата у са едни и същи. Може би си спомняш, че това беше равно на квадратен корен от 2 върху 2. Но важното е, че разстоянието, което изминаваме по оста х, е същото като разстоянието, което изминаваме по оста у. Следователно наклонът на ето този лъч ще бъде равен на 1 или, казано по друг начин, тангенс от тита ще бъде равен на 1. Или синус от тита върху косинус от тита ще бъде същото – ще получим единица. Нека да изтрия тук, защото ще продължа да използвам същата единична окръжност. Следователно, ако тита е с мярка π върху 4, тогава тангенс от тита ще бъде равен на 1. А, ако тита е с мярка -π върху 4? Това се вижда тук горе. Нека да начертая малък триъгълник. Когато координатата х е корен квадратен от 2 върху 2... това го знаем. Виждали сме това много пъти, корен квадратен от 2... Всъщност нека го означа малко по-добре. Нашият ъгъл тита е равен на -π върху 4 радиана. Ако разсъждаваме в градуси, ъгълът ще бъде -45 градуса. А синусът и косинусът на този ъгъл ще бъдат взаимни противоположности. Косинусът е квадратен корен от 2 върху 2. Координатата х на пресечната точка е равна на корен квадратен от 2 върху 2. Координатата у е минус квадратен корен от 2 върху 2. На колко е равен тангенсът? Тангенсът ще бъде равен на синуса върху косинуса, което ще бъде равно на -1, както виждаш. Колкото и да се придвижваме по оста х, изместваме стойността на това в отрицателна посока по оста у. Ще изтрия част от това, защото искам да продължа да използвам моята единична окръжност. Готово. Следователно това ще бъде -1. Ще бъде равно на -1. Нека изобразим няколко от тези точки. Ако приемем, че това е оста тита – нека това е оста тита – и, ако това е оста у, веднага се вижда, че тангенс от 0 е равно на 0. Тангенс от π върху 4 е равно на 1, ако разсъждаваме в радиани. Тангенс от -π върху 4 е равно на -1. Нека помислим. След като видя това, вероятно ще кажеш: "Може би това е някакъв вид права". Ще видим много ясно обаче, че това не е права, защото какво се случва докато нашият ъгъл се доближава все повече и повече до π върху 2? Какво се случва с наклона на правата? Това е ъгъл тита. Доближаваме се все повече и повече до π върху 2. Предполагам, че трябваше да кажа – този лъч се доближава все повече и повече до вертикала, следователно наклонът му става все по-положителен и, ако изминем цялото разстояние до π върху 2, наклонът става наистина недефиниран, като стойността му се доближава – един начин да мислим за това е – до безкрайност. Следователно, доближавайки се все повече и повече до π върху 2... Ще начертая вертикална асимптота ето тук, при π върху 2. Това е единият начин на разсъждение. Доближаваме се до безкрайност, следователно ще изглежда горе-долу така. Ще изглежда горе-долу така. Наклонът на лъча, доближавайки се все повече до π върху 2, се доближава все повече до безкрайност. Какво става, когато ъгълът се доближава все повече до -π върху 2? Когато се доближава все повече до -π върху 2? Тогава наклонът става все по-отрицателен. Той наистина се доближава до минус безкрайност. Нека го начертая. Отново не е съвсем дефинирана, имаме вертикална асимптота и се доближаваме до минус безкрайност. Доближаваме се до минус безкрайност. Така изглежда графиката на тангенс от тита над този сектор на – вероятно можем да кажем – на оста тита, но можем и да продължим. Можем да продължим, защото, ако нашият ъгъл... Веднага след като преминем π върху 2 – да приемем, че току-що сме преминали π върху 2, пресекли сме го. Какъв е наклонът? Какъв е наклонът на това нещо? Наклонът е крайно отрицателен. Прилича почти на това, което начертах тук долу. Крайно отрицателен е. Следователно графиката слиза обратно надолу и отново е крайно отрицателна. А, ако увеличаваме големината на ъгъл тита, тя става все по-малко отрицателна, докато... Какво е това? Докато стигнем до... Нека го нанеса... Докато стигнем до този ъгъл. Каква е мярката на този ъгъл? Все още не съм ти казал. Да приемем, че този ъгъл е с мярка 3π върху 4. Защо избрах 3π върху 4? Защото това е π върху 2 плюс π върху 4. Или 2π върху 4 плюс още едно π върху 4 прави 3π върху 4. А това е интересно, защото се получава друг – оформя се друг – да го наречем триъгълник от вида: π върху 4 – π върху 4 – π върху 2. Или триъгълник от вида 45–45–90 градуса, в който координатите х и у или разстоянията х и у са еднакви. Но х ще бъде с отрицателен знак, а у – с положителен. Следователно наклонът тук ще бъде същият, като този при -π върху 4 радиана. Ще имаме наклон, равен на -1. При 3π върху 4 имаме наклон от -1. Увеличаваме размера на ъгъла докато стигнем π. Наклонът отново става 0. Нашият наклон става 0. Продължавайки отвъд тази стойност, увеличавайки с още едно π върху 4, наклонът отново става равен на 1. Нашият наклон отново става равен на 1. И отново, доближавайки 3π върху 2, наклонът става все по-положителен, като отива към плюс безкрайност. Ако се придвижим малко по оста х, се придвижваме доста нагоре по оста у. Следователно графиката ще изглежда така. Ще я оцветя така, че да можеш да я видиш. Графиката ще изглежда горе-долу така. Тя ще изглежда по същия начин... Тя ще изглежда по същия начин за всички π радиани – нека я начертая с прекъсната линия – за всички π радиани отново и отново. Нека се върна, π, и мога да начертая тези асимптоти. Мога да начертая тези асимптоти. Ще начертая това и това. Следователно графиката на тангенс, на тангенс от тита, ще изглежда, ще изглежда горе-долу така. Функцията е периодична – очевидно можем да я удължаваме още и още и в двете посоки.