Ограничаване на дефиниционните множества на функциите, за да ги направим обратими

До какви интервали можем да ограничим f(x) = cos(x - π/4), така че f(x) да е обратима? Дадена ни е графиката на функцията f(x) = cos(x - π/4). Да помислим какво означава функцията да е обратима. Функцията е проекция на множество елементи, което наричаме дефиниционно множество. Маркерът ми е малко изхабен днес, да видим дали пише. Това е дефиниционното множество. А това е обхватът на функцията. На всеки елемент от дефиниционното множество съответства на елемент от обхвата. Това прави функцията. А обратната функция проектира елемента от обхвата в елемента от дефиниционното множество. Следователно това ще бъде обратна f. Ако това е посоката на функцията, това ще бъде посоката на обратната f. Една от ситуациите, при които функцията не е обратима, е когато два елемента от нейното дефиниционното множество съответстват на един и същи елемент от обхвата. И двата от тези елементи съответстват на този елемент от обхвата, следователно те са част от функцията. Но в този случай няма да можем да създадем функция, която се проектира по обратния начин, защото, ако включим тези двете в обратната функция, какво става? До този елемент от множеството ли стигаме или до този? Казано по друг начин, трябва ни проекция едно към едно. На всеки елемент от обхвата трябва да съответства точно един елемент от множеството. Можем и да опитаме да начертаем хоризонтална права върху графиката на функцията и да видим дали тя пресича функцията повече от веднъж. Можем да видим, че случаят е наистина такъв за функцията тук. Ако начертая хоризонтална права тук. Защо се спираме на този въпрос? Нека да покажа число, което е по-лесно за възприемане. Начертал съм хоризонталната линия тук. Защо разглеждаме тази линия? Защото ни показва частта от множеството, изобразена тук, в която има няколко точки, които съответстват на същия елемент от обхвата. Съответстват на 0,5. 0,5, стойността ето тук. Тогава f от това е равна на 0,5, f от това е равна на 0,5, f от това ето тук е 0,5. Следователно, ако имаме няколко елемента от множеството, съответстващи на същия елемент от обхвата, функцията няма да е обратима за това множество. Ще се опитаме да ограничим множеството така, че, ако приложа на практика това, което наричам тест на хоризонталната линия, тя ще пресече функцията само веднъж. Да погледнем графиката на функцията. Да разгледаме тези варианти. Първо имаме отворена редица от -5π/4. -5π/4 – това е π, това е -π, и още 1/4π. Приемам, че започва оттук и изминава цялото разстояние до -1/4π. Това е дефиниционното множество. Нека го оцветя по друг начин. Ето това е, без да се включват двете крайни точки. Отново мога да използвам хоризонталната линия и да покажа, че в това множество има два елемента, които съответстват на един и същ елемент от обхвата. Следователно, ако опитам да построя обратното на това, този елемент, който предполагам, че е -0,6... На колко ще е равно това обратно f от -0,6? Това тук ли ще е стойността му? Или тази? Ще изключа тази. Да видим, -π до π. Ще го оцветя ето така. -π до π. Това множество е затворено и в него включваме двете граници – включваме -π и π в дефиниционното множество. Отново, в този интервал мога да използвам моята хоризонтална линия или направо да използвам първата, която начертах в синьо. Виждаме, че има няколко елемента от множеството, които съответстват на 0,5. Следователно на колко ще е равно обратно f от 0,5? Не можем да построим функция, която съответства само на един елемент от множеството, следователно можем да изключим и това. А сега, -1/2π до 1/2π. -1/2π, нека... Свършват ми цветовете. И така, -1/2π до 1/2π. Това е интересно, ако използваме хоризонталната линия - тук, тук, тук - да видим. Но, ако използваме линията ето тук, пресичаме функцията два пъти. Така имаме два елемента от множеството, съответстващи на същия елемент от обхвата, затова изключваме и това. Остава ни един последен вариант. Да се надяваме, че ще проработи. 1/2π – това е отворена редица – 1/2π ето тук, до 5π върху 4. Това е π и още 1/4π, ето тук. Да видим. Ако погледна графиката тук, изглежда, че ще премина теста с хоризонталната линия. Мога да начертая хоризонтална линия през всяка една от тези точки. Нека да го направя за цялото множество. Виждаме го – за цялото множество... Пресича функцията само веднъж. За всеки елемент от обхвата имаме само един съответстващ елемент от дефиниционното множеството. Преминахме теста с хоризонталната линия, следователно ще отбележа това тук.