Използване на основното тригонометрично тъждество

Да кажем, че ни кажат, че ъгъл тита, който ще бъде изразен в радиани, е между -3 пи върху 2 и -пи. По-голям е от -3 пи върху 2 и е по-малък от -пи. Също така ни казват, че синус тита е равен на 1/2. Просто от тази информация можем ли да открием какъв ще е тангенсът на тита? Окуражавам те да спреш видеото и да опиташ да го решиш самостоятелно. В случай, че не се сещаш, ще ти дам подсказка. Трябва да използваш основното тригонометрично тъждество, факта, че синус тита на квадрат плюс косинус тита на квадрат е равно на 1. Нека го направим. Знаем основното тригонометрично тъждество, синус тита на квадрат плюс косинус тита на квадрат е равно на 1. Знаем какъв е синус тита на квадрат. Синус тита е 1/2. Това може да бъде преобразувано като 1/2 на квадрат плюс косинус на квадрат тита е равно на 1. Или можем да запишем това като 1/4 плюс косинус на квадрат тита е равно на 1. Или можем да извадим 1/4 от двете страни, за да получим, че косинус на квадрат тита е равно на – да видим. Изваждаш 1/4 от лявата страна, после тази 1/4 изчезва. Това беше целият смисъл. 1 минус 1/4 е 3/4. Какъв може да е косинусът на тита? Когато го повдигна на квадрат, получавам 3/4. Той може да е положителен или отрицателен корен квадратен от 3/4. Тоест, косинус тита може да е равен на положителния или отрицателния корен квадратен от 3 върху 4, което е същото нещо като положителния или отрицателния корен квадратен от 3 върху корен квадратен от 4, което е 2. Тоест, това е положителният или отрицателният корен квадратен от 3, върху 2. Но как да разберем кое от двете е? Тук става полезна тази информация. Нека начертаем единичната си окръжност. Ако си питаш защо сме загрижени за косинуса на тита, това е, понеже, ако знаеш синуса на тита, знаеш косинуса на тита. Тангенс тита е просто синус тита върху косинус тита. Тогава ще знаеш тангенса на тита. Но нека погледнем единичната си окръжност, за да открием коя стойност на косинуса трябва да използваме. Нека начертая единичната окръжност. Това е у-оста. Това е х-оста. Ще начертая единичната окръжност в розово. Това е най-добрата единична окръжност, която мога да начертая. Прости ми за липсата на перфектна заобленост. Това ни казва, че синус тита е по-голям от -3 пи върху 2. Къде е -3 пи върху 2? Да видим. Това е -пи върху 2. Това е едната страна на ъгъла. Нека го направя в друг цвят. Тази страна на ъгъла ще е по положителната х-ос. Искаме да намерим къде ще е другата страна. Това тук е -пи върху 2. Това е -пи. Това е между -пи, което е ето тук... Нека изясня това. -пи е ето тук. Това е между -пи и -3 пи върху 2. -3 пи върху 2 е ето тук. Тоест, нашият ъгъл тита ще ни постави някъде тук. Причината да направя това – цялата тази дъга ето тук – можеш да мислиш за това като за мярката на ъгъл тита. Причината да направя това е, за да помислим дали косинус тита ще е положителен или отрицателен. Ясно виждаме, че е във втори квадрант. Косинус тита е х-координатата на тази точка, където ъгълът ни пресича единичната окръжност. Тази точка ето тук – всъщност, нека го направя в оранжев цвят – това тук е косинус тита. Това положителна или отрицателна стойност е? Очевидно това е отрицателна стойност. За целта на този пример, косинус тита не е +1. Той е -1. Тоест, можем да запишем, че косинус тита е равен на отрицателният квадратен корен от 3 върху 2. Открихме косинус тита, но все още трябва да намерим тангенса тита. Просто трябва да си припомним, че тангенсът на тита ще е равен на синус тита върху косинус тита. Казват ни, че синус тита е 1/2. Тоест, това ще е 1/2 върху косинус тита, което е отрицателният квадратен корен от 3 върху 2. На колко е равно това? Това е същото нещо като 1/2 плюс реципрочното на това. Тоест, по -2 върху корен квадратен от 3. Тези двойки се изключват взаимно и ни остава -1 върху корен квадратен от 3. Някои хора не искат в знаменателя да има радикал, както тук. Не искат ирационален знаменател. Така че можем да рационализираме знаменателя като умножим по корен квадратен от 3 върху корен квадратен от 3. Тоест, това ще е равно на отрицателния корен квадратен от 3 върху 3 – това е тангенсът на този ъгъл тук. Всъщност това е логично, понеже тангенсът на ъгъла е наклонът (ъгловият коефициент) на тази права. Виждаме, че това е отрицателен наклон.