Тъждества за синус и косинус: периодичност

Да приемем, че имам някакъв ъгъл тита ето тук. Чертая нашата единична окръжност с презумпцията, че сме започнали от лъч, лежащ върху положителната част на оста х (Ох), и горното рамо на ъгъла... Точката на пресичане на горното рамо на ъгъла с единичната окръжност всъщност определя синуса и косинуса на тита. Следователно косинус от тита е х... Ще го начертая в цвят, който не съм използвал досега. Косинус от тита е координатата х на точката на пресичане на горното рамо с окръжността. Казано по друг начин, косинус от тита е дължината на това, което чертая в лилаво ето тук. Тази дължина ето тук е косинус от тита. Синус от тита е координатата у. Или казано по друг начин, синус от тита е дължината на тази линия ето тук. Височината, на която се намирате над Ох, представлява координатата у. Нейната дължина е синус от тита. Това има смисъл, тъй като показва защо определението за единична окръжност е разширение на определенията за синус и косинус. Синус и косинус. Синус е срещулежащ катет към хипотенуза. Ако искам да намеря синус от тита, на колко ще е равен той? Ако разглеждам синус от тита, според определенията синус от тита ще бъде равен на дължината на срещулежащата страна... Твърдим, че това е синус от тита, върху хипотенузата. Това е хипотенузата, а това е единична окръжност. Следователно тя ще бъде равна на 1. Така показваме, че това е вярно. Казано по друг начин, синус от тита е равен на срещулежащата страна към хипотенузата. В този случай това ще бъде равно на срещулежащата страна... А колко ще бъде хипотенузата? Това е единична окръжност, следователно ще бъде 1. В случая синус от тита е равен на дължината на срещулежащата страна. Дължината на срещулежащата страна е равна на синус от тита. По същата логика косинус от тита е равен на прилежащата страна към хипотенузата. Тъй като хипотенузата е 1, това е равно на дължината на прилежащата страна. Косинус от тита е дължината на прилежащата страна. Това е един вид преговор, който показва как определението за единична окръжност е разширение на определенията за синус и косинус. Нека сега да направим нещо интересно. Това е ъгълът тита. Да разгледаме ъгъл тита плюс π върху 2. Имаме ъгъл тита плюс π върху 2. Ако наистина прибавя π върху 2 към това, ще получа лъч, който е перпендикулярен на първия лъч. Ако мислим в градуси, π върху 2 радиана... Когато казвам тита плюс π върху 2, говоря за радиани. π върху 2 радиана е еквивалентно на 90 градуса. Следователно всъщност прибавяме 90 градуса. Така че този ъгъл е тита плюс π върху 2. Това, което искам да разбера в това видео, е дали можем да отнесем синус от тита плюс π върху 2 към синус или косинус от тита по някакъв начин? Съветвам те да спреш видеото на пауза и да помислиш самостоятелно, преди аз да го реша. Да помислим колко ще бъде синус от тита плюс π върху 2. От определението за единична окръжност знаем, че синус от ъгъла, равен на тита плюс π върху 2, е координатата у. Това е ето тази стойност тук. Или, казано по друг начин, това е дължината на линията в цикламено. Това тук е синус от тита плюс π върху 2. Ето това тук. Как се отнася това към това, което имаме ето тук? Ако се замислим, изглежда все едно току-що сме завъртели този триъгълник на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка. И наистина е така, защото все едно взехме това горно рамо и към него добавихме 90 градуса или π върху 2 радиана. Ако искаме да се задълбочим още повече – ако този целият бял ъгъл е тита плюс π върху 2, а частта в първия квадрант е π върху 2, тогава тази част тук трябва да е равна на тита. И, ако се замислим и се опитаме да отнесем тази страна, която оцветих в цикламено, към този ъгъл тита, като използваме определенията за синус и косинус за този ъгъл тита в жълто – тя се явява прилежаща страна. Да помислим малко повече по това. Кое е отношението на прилежащата страна към хипотенузата, в нашия случай равна на 1, защото това е единична окръжност? Косинус показва това отношение. Можем да кажем, че косинус от този ъгъл тита, е равен на прилежащата страна, за която вече знаем, че е синус от тита плюс π върху 2. Нека го запиша така. Синус от тита плюс π върху 2 върху хипотенузата, която е равна на 1, така че стойността не се променя. Това е прекрасно. По същия начин можем да открием едно чудесно отношение и между косинус и синус. Косинус от тита е равен на синус от тита плюс π върху 2 или можем да кажем, че синус от тита плюс π върху 2 е равно на косинус от тита. След като изгледа това видео, те съветвам да видиш дали можеш да откриеш и други отношения. Помисли към какво се отнася синус от тита например? Или към какво може да се отнася косинус от тита плюс π върху 2? Опитай да откриеш отговора самостоятелно.