Текстова задача за вектори: бутане на кутия

Да приемем, че има двама души, които заедно бутат кутия през снега до някаква цел. Кутията тръгва от тук, а целта се намира тук. Отбелязвам целта. Двамата се опитват да добутат кутията до тук. Поради някаква причина не могат и двамата да бутат отзад, вероятно няма достатъчно място или за да не изкривят кутията. Човек А трябва да бута в посока, различна от посоката към целта. Всеки от тях бута в различна посока. Векторът, който чертая представлява упражнената от тях сила. Така начертавам вектор на силата. Това е векторът на силата, упражнена от човек А. Означавам я като вектора а. Знаем големината на този вектор, или иначе казано, големината на вектора а е 330 нютона. Човек B бута в друга посока, тъй като не могат и двамата да са в посоката към целта. Сигурно кутията е много мека тук. Човек В бута под ъгъл, ето този вектор изобразява силата, с която човек В бута и показва големината и посоката на тази сила. Големината на силата е 300 нютона. Дадени са ни ъглите между тези вектори и посоката към целта. Тази линия показва посоката към целта. Знаем, че ъгълът ѝ с вектора а е 35 градуса, а с вектора b е 15 градуса. Сега искам да оставиш този клип на пауза и да помислиш с колко всяка от силите допринася за преместването на кутията към целта, и оттам кой от двамата прилага повече сила в тази посока. Виждаме, че като цяло силата, приложена от човека А, има по-голяма величина от силата на човека В. 330 нютона е повече от 300. Но кой от двамата помага повече за достигането на целта? И с колко повече? Също, колко е общата сила, с която бутат кутията към целта? Предполагам, че вече помисли над това. Ключът тук е да намерим компонентите на всеки от тези вектори, големината на всеки вектор в посоката към целта. Нека първо разгледаме вектора а. Векторът а изглежда така, ще го начертая отделно. Ето го вектора а. Знаем неговата големина, тя е 330 нютона. Да приемем, че целта е в тази посока. Целта е някъде насам и вече знаем, че този ъгъл е 35 градуса. Искаме да намерим големината на тази компонента, която има посока към целта. Можем да го направим с използване на обикновени тригонометрични функции. Тук имаме правоъгълен триъгълник. Търсим този му катет. Ще го обознача като а(х). Вече знаем големината на вектора а. Тя е 330 нютона. Имаме тази големина, ще я запиша. Големината на вектора в посоката на оста х, или на вектора а(х), записвам така. Просто ще запиша а(х) без знака за вектор. Как да разсъждаваме нататък? Знаем, че косинус е прилежащ катет върху хипотенуза. Можем да запишем: косинус от 35 градуса е равен на дължината на прилежащата страна, това е нашата отсечка а(х), която се явява големината на вектора а(х), делено на големината на вектора а, която е 330 нютона. Имаме а(х) равно на 330 нютона по косинус от 35 градуса. Можем да разпишем аналогично и за силата на В. Нека начертая вектора b. Изнасям го отстрани, за да е по-ясно. Но да започна по-умно. Нека това е посоката към целта, ще я отбележа с хоризонтална права. По отношение на нея векторът b изглежда така, той е на 15 градуса под нея. Нека нарека с b(x) компонента му в посока на целта. Ще спусна перпендикуляр от върха на вектора b към правата. Това е векторът b(x) и нека намерим неговата големина. Да напишем големината на вектора b(x) като отсечката b(x), без означението за вектор. Сега по същата логика. Тук имаме 15 градуса. Косинус от 15 градуса е дължината на прилежащия катет върху дължината на хипотенузата. Вече знаем, че дължината на хипотенузата е 300 нютона. Ще напиша уравнението: косинус от 15 градуса е равно на b(x), това е прилежащият катет, върху дължината на хипотенузата. Или b(х) е равно на 300 по косинус от 15 градуса. Да извадим калкулатора и да пресметнем тези дължини. За а(х) имаме 330 по косинус от 35 градуса, получаваме 270. Значи а(х) е 270 нютона. За b(x) имаме 330 по косинус от 15 градуса. Получава се 289,777. Виждаме, че макар големината на вектора b да е по-малка от големината на вектора а, неговият компонент в посоката към целта е по-голям от компонента на а в посоката към целта. Като закръглим получения резултат, получаваме големината на този вектор b(x), ето го тук, става 290 нютона. Дължината на тази отсечка е приблизително 290 нютона, това е големината му, докато тази отсечка а(х) е малко по-къса. Като я закръглим и пренебрегнем дробната част, тя е около 270 нютона. Дължината на лилавата отсечка е приблизително 270 нютона. За да отговориш на въпроса с колко повече човекът В бута в посоката, която ни интересува, намираш разликата на двете стойности. За по-голяма точност използваме целия израз: 300 по косинус от 15 минус 330 по косинус от 35 и получаваме приблизително 19,5 нютона разлика. Означената в синьо сила на човека В допринася с 19,458 нютона повече в посоката към целта, отколкото силата на човека А. Ако искаме да намерим общата им сила, приложена в тази посока, то ще вземем сбора от тези две сили. Общата сила в тази посока е а(х) + b(х) = 560 нютона, закръглено до цяло число. Като събереш този компонент в синьо и този компонент в лилаво, ще получиш такъв вектор с големина 560 нютона. Този вектор има големина равна на големината на сбора от векторите а(х) плюс b(x), което е равно на а(х) плюс b(x), които вече видяхме, че са еквивалентни на големините на всеки от тези вектори. Големината на сбора им е приблизително 560 нютона.