Да приемем,
че има двама души, които заедно бутат
кутия през снега до някаква цел.
Кутията тръгва от тук, а целта се намира тук. Отбелязвам целта. Двамата се опитват
да добутат кутията до тук. Поради някаква причина не могат и двамата да бутат отзад, вероятно няма достатъчно място или за да не изкривят кутията. Човек А трябва да бута в посока, различна
от посоката към целта. Всеки от тях бута в различна посока. Векторът, който чертая представлява
упражнената от тях сила. Така начертавам вектор на силата. Това е векторът на силата,
упражнена от човек А. Означавам я като вектора а. Знаем големината на този вектор, или иначе казано, големината на вектора а е 330 нютона. Човек B бута в друга посока, тъй като не могат и двамата да са в посоката към целта. Сигурно кутията е много мека тук. Човек В бута под ъгъл, ето този вектор
изобразява силата, с която човек В бута и показва големината
и посоката на тази сила. Големината на силата е 300 нютона. Дадени са ни ъглите
между тези вектори и посоката към целта. Тази линия
показва посоката към целта. Знаем, че ъгълът ѝ с вектора а
е 35 градуса, а с вектора b е 15 градуса. Сега искам да оставиш
този клип на пауза и да помислиш с колко
всяка от силите допринася за преместването на кутията към целта,
и оттам кой от двамата прилага повече сила
в тази посока. Виждаме, че като цяло
силата, приложена от човека А, има по-голяма величина от силата на човека В. 330 нютона е повече от 300. Но кой от двамата помага
повече за достигането на целта? И с колко повече? Също, колко е общата сила, с която бутат кутията към целта? Предполагам, че вече
помисли над това. Ключът тук е да намерим
компонентите на всеки от тези вектори,
големината на всеки вектор в посоката към целта. Нека първо разгледаме
вектора а. Векторът а изглежда така, ще го начертая отделно. Ето го вектора а. Знаем неговата големина, тя е 330 нютона. Да приемем, че целта е
в тази посока. Целта е някъде насам и вече знаем, че този ъгъл
е 35 градуса. Искаме да намерим големината на тази компонента, която има посока към целта. Можем да го направим
с използване на обикновени тригонометрични
функции. Тук имаме правоъгълен триъгълник. Търсим този му катет. Ще го обознача като а(х). Вече знаем големината на
вектора а. Тя е 330 нютона. Имаме тази големина, ще я запиша. Големината на вектора в посоката на оста х,
или на вектора а(х), записвам така. Просто ще запиша а(х) без знака за вектор. Как да разсъждаваме нататък? Знаем, че косинус е
прилежащ катет върху хипотенуза. Можем да запишем:
косинус от 35 градуса е равен на дължината
на прилежащата страна, това е нашата отсечка а(х), която се явява големината на вектора а(х),
делено на големината на вектора а, която е 330 нютона.
Имаме а(х) равно на 330 нютона
по косинус от 35 градуса. Можем да разпишем
аналогично и за силата на В. Нека начертая вектора b. Изнасям го отстрани, за да е по-ясно. Но да започна по-умно. Нека това е посоката към целта, ще я отбележа с хоризонтална права. По отношение на нея векторът b изглежда така, той е на 15 градуса под нея. Нека нарека с b(x) компонента му
в посока на целта. Ще спусна перпендикуляр от върха на вектора b към правата. Това е векторът b(x)
и нека намерим неговата големина. Да напишем големината
на вектора b(x) като отсечката b(x),
без означението за вектор. Сега по същата логика. Тук имаме 15 градуса. Косинус от 15 градуса
е дължината на прилежащия катет върху дължината
на хипотенузата. Вече знаем, че дължината на хипотенузата
е 300 нютона. Ще напиша уравнението:
косинус от 15 градуса е равно на b(x),
това е прилежащият катет, върху дължината на хипотенузата. Или b(х) е равно на
300 по косинус от 15 градуса. Да извадим калкулатора и да пресметнем
тези дължини. За а(х) имаме 330 по косинус от 35 градуса,
получаваме 270. Значи а(х) е 270 нютона. За b(x) имаме 330 по
косинус от 15 градуса. Получава се 289,777. Виждаме, че макар
големината на вектора b да е по-малка от големината
на вектора а, неговият компонент
в посоката към целта е по-голям от компонента на а
в посоката към целта. Като закръглим получения резултат,
получаваме големината на този вектор b(x), ето го тук, става 290 нютона. Дължината на тази отсечка
е приблизително 290 нютона, това е големината му, докато тази отсечка а(х) е малко по-къса. Като я закръглим и
пренебрегнем дробната част, тя е около 270 нютона. Дължината на лилавата отсечка
е приблизително 270 нютона. За да отговориш на въпроса
с колко повече човекът В бута в посоката, която ни интересува, намираш разликата на
двете стойности. За по-голяма точност
използваме целия израз: 300 по косинус от 15
минус 330 по косинус от 35 и получаваме приблизително
19,5 нютона разлика. Означената в синьо
сила на човека В допринася с 19,458 нютона
повече в посоката към целта,
отколкото силата на човека А. Ако искаме да намерим общата им сила,
приложена в тази посока, то ще вземем сбора
от тези две сили. Общата сила в тази посока е а(х) + b(х) = 560 нютона, закръглено до цяло число. Като събереш
този компонент в синьо и този компонент в лилаво, ще получиш такъв вектор
с големина 560 нютона. Този вектор има големина равна на големината
на сбора от векторите а(х) плюс b(x),
което е равно на а(х) плюс b(x), които вече видяхме,
че са еквивалентни на големините на всеки
от тези вектори. Големината на сбора им е
приблизително 560 нютона.