Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Преобразуване на вектори от компонентна форма в дължина и посока (обобщение)

Виж обобщение на това как определяме дължината и посоката на вектор, който ни е даден в компонентна форма, и обратно.

Обобщение на метода за работа

Намиране дължина на вектор чрез компонентите му

Дължината на вектор (a;b) е ||(a;b)||=a2+b2.

Определяне на посоката на вектор чрез компонентите му

Ъгълът на посоката на вектор (a;b) е θ=tg1(ba) плюс съответната корекция за квадранта, в който се намира векторът, която можеш да видиш в следната таблица:
КвадрантКорекция
Q1tg1(ba)
Q2tg1(ba)+180°
Q3tg1(ba)+180°
Q4tg1(ba)+360°

Определяне на компонентите на вектор при дадени неговите дължина и посока

Компонентите на вектор с дължина ||u|| и посока θ са: (||u||cos(θ);||u||sin(θ)).

Какво са дължина и посока на вектор?

Свикнали сме да представяме векторите в тяхната компонентна форма. Например вектора (3;4). Можем да начертаем вектори в координатната система, като начертаем насочена отсечка от началото ѝ до точката с координати компонентите на вектора:
Като разгледаме чертежа, виждаме, че има и друг начин да опишем еднозначно векторите: чрез тяхната дължина и посока:
Дължината на един вектор е дължината на отсечката, докато посоката е ъгълът между нея и положителната посока на оста x.
Дължината на вектора v обикновено се записва като ||v||.
Искаш ли да научиш повече за дължина на вектори? Виж това видео.
Искаш ли да научиш повече за посока на вектори? Виж това видео.

Поредица упражнения 1: Определяне на дължина на вектор при дадени неговите компоненти

За да намерим дължината на вектора от неговите компоненти, взимаме квадратния корен от сумата на квадратите на компонентите (това е директно следствие от питагоровата теорема).
||(a;b)||=a2+b2
Например дължината на вектора (3;4) е 32+42=25=5.
Задача 1.1
u=(1;7)
||u||=

Въведи отговора със знак за квадратен корен или като десетична дроб, закръглена до най-близката стотна.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Поредица упражнения 2: Определяне на посоката на вектор при дадени компоненти на вектора

За да намерим посоката на вектор от неговите компоненти, взимаме реципрочното на частното на компонентите:
θ=tg1(ba)
Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от вектора и оста x.

Пример 1: Квадрант I

Нека намерим посоката на вектора (3;4):
tg1(43)53

Пример 2: Квадрант IV

Нека намерим посоката на вектора (3;4):
tg1(43)53
Калкулаторът показва отрицателен ъгъл, но е прието да ползваме положителни числа за посоките на векторите. Затова просто добавяме 360:
53+360=307

Пример 3: Квадрант II

Нека намерим посоката на вектора (3;4). Най-напред забележи, че векторът (3;4) се намира в квадрант II.
tg1(43)53
53 е в квадрант IV, а не в II. Трябва да добавим 180, за да получим срещуположния ъгъл:
53+180=127
Задача 2.1
u=(5;8)
θ=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Въведи отговора си като ъгъл в градуси между 0 и 360, закръглен до най-близката стотна.

Искаш ли да опиташ и други подобни задачи? Виж това упражнение.

Поредица упражнения 3: Определяне на компонентите на вектор при дадени дължина и посока

За да намерим компонентите на вектор, когато са дадени неговата дължина и посока, умножаваме дължината по синуса или косинуса на ъгъла:
u=(||u||cos(θ);||u||sin(θ))
Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от вектора и оста x.
Например това е компонентната форма на вектора с дължина 2 и ъгъл 30:
(2cos(30);2sin(30))=(3;1)
Задача 3.1
u( 
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
 ;
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
)
Закръгли крайния си отговор до най-близката стотна.

Искаш ли да пробваш още задачи като тази? Виж този пример.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.