Основно съдържание

Курс: Алгебра 2 > Раздел 3

Урок 2: Най-голям общ делител

Най-голям общ делител на едночлени

Как да намерим НОД (най-големия общ делител) на два или повече едночлена.

С какво трябва да познаваш преди този урок

Едночлен или "моном" е израз, който е произведение на константи и

x

, повдигнато на степен цяло неотрицателно число, например като

3 x^{2}

. Многочлен или "полином" е сума от едночлени.

Можеш да направиш пълното разлагане на даден едночлен като разложиш на прости множители коефициента и частта с променливата. Виж нашата статия Разлагане на едночлени, ако това е нещо ново за теб.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш за най-големия общ делител (НОД) и как да го намираш за едночлените.

Преглед: Най-големи общи делители при цели числа

Най-голям общ делител на две числа е най-голямото цяло число, което е делител на двете числа. Например НОД на

12

18

6

Можем да намерим НОД за всеки две числа чрез разглеждане на резултата от първичните им разлагания:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ ‍

Обърни внимание, че

12

18

имат общ делител

2

и общ делител

3

. Следователно най-големият общ делител на

12

18

2 \cdot 3 = 6

Най-големи общи делители при едночлени

Процесът е подобен, когато от теб се иска да намериш най-големия общ делител на два или повече едночлена.

Просто запиши пълното разлагане на всеки едночлен и намери общите делители. Произведението на всички общи делители ще бъде НОД.

Например нека да намерим най-големия общ делител на

10 x^{3}

4 x

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$ ‍

Обърни внимание, че

10 x^{3}

4 x

имат един общ делител

2

и един общ делител

x

. Следователно техният най-голям общ делител е

2 \cdot x

или

2 x

Провери знанията си

1) Кой е най-големият общ делител на $9 x^{2}$ ‍ и $6 x$ ‍?

Нека разложим всеки едночлен напълно. След това можем да намерим делителите, общи за двата едночлена, и да ги умножим, за да намерим НОД.

$9 x^{2} = 3 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x = 2 \cdot 3 \cdot x$ ‍

Обърни внимание, че всеки едночлен има един общ делител

3

и един общ делител

x

. Следователно техният най-голям общ делител е

3 \cdot x

или

3 x

2) Кой е най-големият общ делител на $12 x^{5}$ ‍ и $8 x^{3}$ ‍?

$12 x^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$8 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Обърни внимание, че всеки едночлен има един общ делител

2

и три общи делителя

x

. Следователно техният най-голям общ делител е

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x

или

4 x^{3}

3) Кой е най-големият общ делител на $5 x^{7}$ ‍, $30 x^{4}$ ‍ и $10 x^{3}$ ‍?

Нека разложим всеки едночлен напълно. След това можем да намерим делителите, общи за всички три едночлена, и да ги умножим, за да намерим НОД.

$5 x^{7} = 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$30 x^{4} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Обърни внимание, че всеки едночлен има един общ делител

5

и три общи делителя

x

. Следователно техният най-голям общ едночленен делител е

5 \cdot x \cdot x \cdot x

или

5 x^{3}

Бележка за променливата част на НОД

По принцип променливата част на НОД за всеки два или повече едночлена е равна на променливата част на едночлена с най-ниската степен на

x

Например разгледай едночлените

6 x^{5}

4 x^{2}

Тъй като най-ниската степен на $x$ ‍ е $x^{2}$ ‍, това ще бъде променливата част на НОД.
След това можеш да намериш НОД на $6$ ‍ и $4$ ‍, което е $2$ ‍ и да умножиш това по $x^{2}$ ‍, за да получиш $2 x^{2}$ ‍, НОД на едночлените!

\begin{aligned} НОД на 6 и 4 е 2 & Делителят с най-ниска степен на x^{5} и x^{2} е x^{2} \\ ↘ & ↙ \\ GCF (6 x^{5}; 4 x^{2}) = 2 & x^{2} \end{aligned}

Това е особено полезно, когато намираме НОД на едночлени с много високи степени на

x

. Например би било много досадно да разложим напълно едночлени като

32 x^{100}

16 x^{88}

Задачи с повишена трудност

4*)Кой е най-големият общ делител на $20 x^{76}$ ‍ и $8 x^{92}$ ‍?

5*) Кой е най-големият общ делител на $40 x^{5} y^{2}$ ‍ и $32 x^{2} y^{3}$ ‍?

За да намерим най-големия общ делител на

40 x^{5} y^{2}

32 x^{2} y^{3}

, нека разложим всеки едночлен напълно и да видим какво е общото между тях.

$40 x^{5} y^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍
$32 x^{2} y^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍

Обърни внимание, че всеки едночлен има три общи делителя

2

, два общи делителя

x

и два общи делителя

y

. Следователно най-голeмият общ делител е

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y

или

8 x^{2} y^{2}

Алтернативно на това, обърни внимание, че най-ниската степен на

x

x^{2}

и най-ниската степен на

y

y^{2}

. Така че променливата част на НОД ще бъде

x^{2} y^{2}

. НОД на

40

32

8

, следователно НОД на едночлените е

8 x^{2} y^{2}

Какво следва?

За да видиш как можеш да използваш уменията за разлагане на многочлени, виж следващата ни статия за изнасянето на най-големия общ делител!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.