Разлагане на квадратни изрази: водещ коефициент = 1

Научи как да разлагаш квадратни изрази като произведение на два линейни бинома. Например x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Какво трябва да знаеш за този урок

Разлагането на многочлени е представянето им като произведение от два или повече многочлена. Това е обратното на процеса на умножение на многочлени. Ако искаш да научиш повече за това, виж предишния урок за намиране на общи делители.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да разлагаш многочлен от вида x2+bx+cx^2+bx+c като произведение на два двучлена.

Преглед: Умножение на двучлени

Нека разгледаме израза (x+2)(x+4)(x+2)(x+4).
Можем да намерим произведението чрез прилагане на разпределителното свойство няколко пъти.
Следователно имаме, че (x+2)(x+4)=x2+6x+8(x+2)(x+4)=x^2+6x+8.
От това виждаме, че x+2x+2 и x+4x+4 са множители на x2+6x+8x^2+6x+8, но как ще ги намерим, ако не започнем с тях?

Разлагане на тричлени

Можем да обърнем процеса на умножение на двучлени, показан по-горе, за да разложим тричлена (който е многочлен с 33 члена).
С други думи, ако започнем с многочлена x2+6x+8x^2+6x+8, можем да използваме разлагане, за да го запишем като произведение на два двучлена (x+2)(x+4)(x+2)(x+4).
Нека да разгледаме няколко примера, за да видиш как се прави това.

Пример 1: Разлагане на x2+5x+6x^2+5x+6

За да разложим x2+5x+6x^2+\goldD5x+\purpleC6, първо трябва да намерим две числа, произведението от които е 6\purpleC 6 (постоянно число) и чийто сбор е 5\goldD 5 (коефициентът xx).
Тези две числа са 2\blueD{2} и 3\greenD{3}, тъй като 23=6\blueD{2}\cdot \greenD{3} =6 и 2+3=5\blueD2+\greenD3=5.
След това можем да добавим всяко едно от тези числа към xx, за да оформим двата делителя-двучлени: (x+2)(x+\blueD2) и (x+3)(x+\greenD3).
Да обобщим: ние разложихме тричлена както следва:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
Можем да проверим разлагането чрез умножаване на двата двучлена:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
Произведението на x+2x+2 и x+3x+3 наистина е x2+5x+6x^2+5x+6. Нашето разлагане е правилно!

Провери знанията си

Нека да разгледаме още няколко примера и да видим какво можем да научим от тях.

Пример 2: Разлагане на x25x+6x^2-5x+6

За да разложим x25x6x^2\goldD{-5}x\purpleC6, нека първо намерим две числа, произведението от които е 6\purpleC{6}, и чийто сбор е 5\goldD{-5}.
Тези две числа са 2\blueD{-2} и 3\greenD{-3}, тъй като (2)(3)=6(\blueD{-2})\cdot (\greenD{-3})=6 и (2)+(3)=5(\blueD{-2})+(\greenD{-3})=-5.
След това можем да добавим всяко едно от тези числа към xx, за да оформим двата двучленни делителя: (x+(2))(x+(\blueD{-2})) и (x+(3))(x+(\greenD{-3})).
Разлагането е дадено по-долу:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Начин на разлагане: Обърни внимание, че и двете числа, необходими за разлагането на x25x+6x^2-5x+6 са отрицателни (2({{-2}} и 3){{-3}}). Това е така, защото тяхното произведение трябва да бъде положително (6)(6), а техният сбор трябва да бъде отрицателен (5)(-5).
По принцип, когато разлагаме x2+bx+cx^2+bx+c, ако cc е положително и bb е отрицателно, то и двата делителя ще бъдат отрицателни!

Пример 3: Разлагане на x2x6x^2-x-6

Можем да запишем x2x6x^2-x-6 като x21x6x^2-1x-6.
За да разложим x21x6x^2\goldD{-1}x\purpleC{-6}, нека първо намерим две числа, които като се умножат, дават 6\purpleC{-6}, и като се сумират, дават 1\goldD{-1}.
Тези две числа са 2\blueD{2} и 3\greenD{-3}, тъй като (2)(3)=6(\blueD{2})\cdot (\greenD{-3})=-6 и 2+(3)=1\blueD{2}+(\greenD{-3})=-1.
След това можем да добавим всяко едно от тези числа към xx, за да оформим двата двучленни делителя: (x+2)(x+\blueD2) и (x+(3))(x+(\greenD{-3})).
Разлагането е дадено по-долу:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Начини на разлагане: Обърни внимание, че за да разложим x2x6x^2-x-6, имаме нужда от едно положително число (2)(2) и едно отрицателно число (3)(-3). Това е така, защото тяхното произведение трябва да бъде отрицателно (6)(-6).
По принцип, когато разлагаме x2+bx+cx^2+bx+c, ако cc е отрицателно, тогава единият делител ще бъде положителен, а другият - отрицателен.

Обобщение

По принцип, за да разложим един тричлен от вида x2+bx+cx^2+\goldD bx+\purpleC c, трябва да намерим делителите на c\purpleC c, чийто сбор е b\goldD b.
Да предположим, че тези две числа са mm и nn, така че c=mnc=mn и b=m+nb=m+n, тогава x2+bx+c=(x+m)(x+n)x^2+bx+c=(x+m)(x+n).

Провери знанията си

Защо това върши работа?

За да разберем защо този метод на разлагане действа, нека да се върнем към първоначалния пример, в който разложихме x2+5x+6x^2+5x+6 като (x+2)(x+3)(x+2)(x+3).
Ако се върнем и умножим двата двучленни множителя, можем да видим какво влияние оказват 2\blueD2 и 3\greenD3 върху оформянето на произведението x2+5x+6x^2+5x+6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Виждаме, че коефициентът на члена xx е сумата от 2\blueD2 и 3\greenD3 и константният член е произведение на 2\blueD2 и 3\greenD3.

Метод на разлагане чрез произведение на сборове

Нека да повторим това, което току-що направихме с (x+2)(x+3)(x+\blueD 2)(x+\greenD3) за (x+m)(x+n)(x+\blueD m) (x+\greenD n) :
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
За да обобщим този процес, получаваме следното уравнение:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn(x+\blueD m)(x+\greenD n)=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n
Това се нарича метод на разлагане чрез произведение на сборове.
Това показва защо щом изразим тричлена x2+bx+cx^2+\goldD bx+\purpleC c като x2+(m+n)x+mnx^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n (чрез намиране на двете числа m\blueD m и n\greenD n, така че b=m+n\goldD b=\blueD m+\greenD n и c=mn\purpleC c=\blueD m\cdot\greenD n), можем да разложим този тричлен като (x+m)(x+n)(x+\blueD m) (x+\greenD n).

Въпрос за размисъл

Кога можем да използваме този метод, за да разлагаме?

По принцип методът на разлагане чрез произведение на сборове е приложим само тогава, когато можем да представим тричлена като (x+m)(x+n)(x+m)(x+n) за някои цели числа mm и nn.
Това означава, че водещият член на тричлена трябва да бъде x2x^2 (а не например 2x22x^2), за да може изобщо да се помисли за този метод. Това е така, защото произведението на (x+m)(x+m) и (x+n)(x+n) винаги ще бъде полином с водещ член x2x^2.
Но не всички тричлени с x2x^2 като водещ член могат да бъдат разложени. Например x2+2x+2x^2+2x+2 не може да бъде разложен, защото няма две цели числа, чиято сума е 22 и чието произведение е 22.
В бъдещи уроци ще научим повече начини за разлагане на повече видове многочлени.

Задачи с повишена трудност

Зареждане