Връх и ос на симетрия на парабола

Трябва да намерим върха и оста на симетрията на тази графика. Решаваме тази задача за да разбереш какво е връх и ос на симетрия. И само като малко пояснение, ако параболата изглежда така, върхът е най-долната точка тук, минимална точка тук при вдлъбната парабола. Ако параболата се отваря надолу така, върхът е най-горната точка ето така. Това е максималната точка. И оста на симетрия е линията, по отношение на която параболата е симетрична. Така че това е оста на симетрия. Лявата и дясната страна на параболата са симетрични спрямо тази ос на симетрия. Същото е и ако това е изпъкнала парабола, която се отваря надолу. Общият начин за откриване на разликата между изпъкнала и вдлъбната парабола е, че това ще има положителен коефициент за х на квадрат, а това ще има отрицателен коефициент. Ще разгледаме това малко по-подробно. Нека просто поработим върху това. За да намеря върха има бърза формула, но аз няма да приложа формулата тук, защото формулата наистина не ни казва нищо за това как откъде идва отговорът. Но аз ще ти покажа как да прилагаш формулата в края на това видео, ако видиш това на тест по математика и просто искаш да го решиш много бързо. Но ние първо ще го решим бавно, по логичния начин. Нека помислим как можем да намерим максималната или минималната точка на тази парабола. Най-добрият начин, който ми хрумва да го реша, е да допълня до точен квадрат. И това може да изглежда като много непозната концепция сега, но нека просто го направим стъпка по стъпка. Мога да препиша това като y е равно на... Мога да изнеса –2. То е равно на –2(х^2 – 4х – 4). Ще сложа –4 тук. И ще допълня квадрата. Искам да изразя в скобите като сбор, повдигнат на квадрат и след това някакво число тук. Имам x^2 – 4x. Ако искам това да бъде пълен квадрат, то ще бъде ако имам положително 4 тук. Ако имах положително 4 тук, тогава това би било пълен квадрат. Това би било (x – 2)^2. Получих 4, защото си казах, че искам коя да е половинка от това число така, че половината от –4 е –2. Нека го повдигна на квадрат. Това ще ми даде положително 4 ето там. Но не мога просто да добавя 4 от едната страна на уравнението. Аз или трябва да го добавя към другата страна, или ще трябва след това просто да го извадя. Така тук не се е променило уравнението. Добавих 4 и след това извадих 4. Просто добавих нула към този малък израз тук, така че тя не го промени. Но това, което тя ми позволява да направя, е да изразя тази част тук като пълен квадрат. х^2 – 4x + 4 е (х – 2)^2. Това е (х – 2)^2.. И след това, имаш това –2 отпред, по което се умножава всичко и след това имаш –4 минус –4, –8, ето така. Така, имаш y = –2 по цялото това нещо и сега можем да умножим по –2 отново. Можем да разкрием скобите. у = –2 (х – 2)^2. И след това, –2 по –8 е плюс 16. Всичко, което направих, е алгебрично преобразуване на това уравнение. Но това ни позволява да помислим коя е максималната или минималната точка на това уравнение. Нека разгледаме това малко по-подробно. Това ето тук, (x – 2)^2, ако го повдигнем на квадрат, то винаги ще бъде положително. Това тук винаги е положително. Но това е умножено по отрицателно число. Ако погледнеш в по-широк контекст, ако погледнеш винаги положителното умножено по отрицателно 2, то ще бъде винаги отрицателно. И колкото по-положително става това число, когато го умножиш по отрицателно, толкова по-отрицателен става целия този израз. Така че ако помислиш, това ще бъде отваряща се надолу парабола. Имаме отрицателен коефициент тук. И максималната точка на тази изпъкнала парабола е, когато този израз тук е възможно най-малък. Ако това стане по-голямо, то просто се умножава по отрицателно число, а след това го изваждаш от 16. Така че ако този израз тук е 0, тогава имаме нашата максимална y стойност, която е 16. А как получаваме x = 0 тук? По начина, по който получаваме x – 2 =0... Нека го направим. x –2 е равно на 0, когато x е равно на 2. Когато х е равно на 2, този израз е 0. 0 по отрицателно число е 0 и тогава y е равно на 16. Това е нашият връх, това е нашата максималната точка. Ние току-що установихме, просто прегледахме алгебрично, че най-високата стойност, която то може да вземе, е 16. Тъй като x се отделя от 2 в положителна или отрицателна посока, тази величина тук може да бъде отрицателна или положителна, но когато я повдигнеш на квадрат, тя ще бъде положителна. И когато я умножиш по –2, тя ще стане отрицателна и ще бъде извадена от 16. Така нашият връх тук е x = 2. Всъщност нека всяка едно от тези деления е 2. Така това е 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Така че моят връх е тук. Това е абсолютната максимална точка за този парабола. И нейната ос на симетрия ще бъде по правата х = 2, по вертикалата х = 2. Това ще е оста на симетрия. И ако сме просто любопитни за някои други точки, просто защото искаме да определим това, можем да кажем: какво се случва, когато x = 0? Това е лесно. Когато х е равно на 0, y е равно на 8. Когато х е равно на 0, имаме 1, 2, 3, 4... о, момент, това са 2. 2, 4, 6, 8. Това е това там. Това е една ос на симетрия. Когато х = 3, y ще бъде равно на 8. Тази парабола е наистина тясна и стръмна, изглежда нещо като това, като това тук е максималната точка. Сега, казах ти, че това е бавен и логичен начин да се реши задачата. Ако искаш бърз начин да намериш върха, има една формула, по която можеш да го намериш всъщност, по точно същия начин, който направихме, но формулата за връх или за стойността х на върха, или оста на симетрията е: x = –b/2а. Ако просто приложим това... но това е просто безсмислено прилагане на формула. Исках да ти покажа защо тази формула дори съществува. Но ако просто прилагаш това, ще получиш... какво е b тук? х е равно на отрицателно... b тук е 8. 8 върху 2 по а. А тук е –2. 2 по –2. На какво ще бъде равно това? Това е –8 върху –4, което е равно на 2, което е точно същото, което получихме с допускане. И когато х = 2, y е равно на 16. Точно същият резултат там. Това е точка (2; 16).