If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 10. клас (България) > Раздел 2

Урок 3: Аритметична прогресия: явни и рекурентни формули

Явни формули на аритметични прогресии

Научи как да намираш явно зададените формули за аритметични прогресии. Например намери явна формула за задаване на редицата 3, 5, 7,...
Преди да минеш този урок, се погрижи да се запознаеш с Въведение във формулите на аритметичните прогресии.

Как действат явно зададените формули

Ето една явна формула на прогресията 3,5,7,
a(n)=3+2(n1)
В тази формула n е произволно число и a(n) е nия член.
Тази формула ни дава възможност просто да включим числото в члена, който ни интересува, и да получим стойността на този член.
Например, за да намерим петия член, трябва да заместим n=5 в явната формула.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11
Страхотно! Всъщност това е петият член на 3,5,7,

Провери знанията си

1) Намери b(10) в редицата, зададена от b(n)=5+9(n1).
b(10)=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Записване на явни формули

Разгледай аритметичната прогресия 5,8,11, Първият член на редицата е 5 и разликата е 3.
Можем да намерим всеки член в редицата, като намерим първия член 5 и добавим разликата 3 към него многократно. Провери например следните изчисления на първите няколко члена.
nИзчисляване на nтия член
15=5+03=5
25+3=5+13=8
35+3+3=5+23=11
45+3+3+3=5+33=14
55+3+3+3+3=5+43=17
Таблицата показва, че можем да намерим nтия член (където n е произволно число), като намерим първия член 5 и прибавим разликата 3 по n1 пъти. Това може да бъде записано като алгебричния израз 5+3(n1).
По принцип това е стандартната явна формула за една аритметична прогресия, чийто първи член е A и разликата е B:
A+B(n1)

Провери знанията си

2) Запиши една явна формула за прогресията 2,9,16,.
d(n)=

3) Запиши една явна формула за прогресията 9,5,1,.
e(n)=

4) Явната формула на аритметичната прогресия е f(n)=6+2(n1).
Кой е първият член на редицата?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
Каква е разликата?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Еквивалентни явни формули

Явните формули могат да имат различна форма.
Например всички следващи формули са явни за редицата 3,5,7,
  • 3+2(n1) (това е стандартната формула)
  • 1+2n
  • 5+2(n2)
Макар формулите да изглеждат различно, важното е, че можем да заместим с произволна стойност за n и да получим правилния nти член (опитай и виж, че и другите формули са верни!).
Различните явни формули, които описват една и съща редица, се наричат еквивалентни формули.

Често срещано погрешно схващане

Една аритметична прогресия може да има различни еквивалентни формули, но е важно да помним, че само стандартният вид ни дава първия член и разликата.
Например редицата 2,8,14, има като пръв член 2 и разлика 6.
Явната формула 2+6(n1) описва редицата, но явната формула 2+6n описва различна редица.
За да приведем формулата 2+6(n1) във вид на еквивалентна формула от вида A+Bn, можем да разкрием скобите и да опростим:
=2+6(n1)=2+6n6=4+6n
Някои хора може да предпочитат формулата 4+6n пред еквивалентната формула 2+6(n1), защото тя е по-кратка. Хубавото при по-дългата формула е, че тя ни дава първия член.

Провери знанията си

5) Намери всички верни явни формули за прогресията 12,7,2,
Избери всички правилни отговори:

Трудни задачи

6*) Намери 124тия член на аритметичната прогресия 199,196,193,
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

7*) Първият член на аритметичната прогресия е 5, а десетият член е 59.
Каква е разликата на редицата?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.