Намиране членовете на числови редици чрез рекурентна формула

Тук имаме функцията g и ти препоръчвам да спреш видеото на пауза и да намериш колко е g(1), да намериш колко е g(2), g(3) и g(4). Намери всяко от тези четирите. Добре, сега нека го направим заедно. g(1), ако n = 1, тогава ще имаме този случай тук, ако n = 1, то g е равно на 4. Това беше доста лесно. Сега да намерим g(2) ако n = 2. 2 е по-голямо от 1 и е естествено число, така че ще използваме този случай. Като това е интересно, защото е определено по отношение на функцията, но не е определено по отношение на g(n), а по отношение на g(n – 1). Така че ако n е 2, тъй като тук изчисляваме g(2), ще имаме g(2 – 1) или g(1) плюс 3,2. Добре, колко ще бъде това? Знаем, че g(1) е равно на 4. Току-що го намерихме. Така че имаме плюс 3,2, това е 7,2. Добре, нека продължим. g(3), попадаме отново в този случай, защото 3 е по-голямо от 1 и е естествено число. Така че това ще бъде g(3 – 1) или g(2) плюс 3,2. Добре, знаем колко е g(2). То е 7,2. Току-що го намерихме. То е 7,2. 7,2 плюс 3,2 ще бъде равно на 10,4. И след това g(4) – отново попадаме тук. Това е g(3) плюс 3,2. На колко е равно това? Току-що намерихме, че g(3) е 10,4. 10,4 плюс 3,2 е 13,6. Това, което имаме тук, е всъщност доста интересно. Можем да разгледаме тази функция g и виждаме, че тя е определена за всички положителни цели числа. Тъй като е определена за положителните цели числа, можем да я разглеждаме като числова редица, като виждаме каква е редицата тук. Първият член е 4, вторият член е 7,2, следващият член е 10,4, следващият член е 13,6. Тя би могла да продължава още и още нататък. Какво се случва? Какво се случва в тази редица? Започваме с 4. И в този случай функцията ни дава това, ако n = 1. Ако n = 1, функцията ще бъде равна на 4. След това за всеки следващ член вземаш предишния и прибавяш 3,2. И така, прибавяме 3,2 за втория член, прибавяме 3,2 още веднъж, и просто продължаваме да прибавяме, не 32, а 3,2 – за да стигнем до следващия член. Можем да определим функцията по следния начин: "Имаме редица, при която първият член е 4, и след това прибавяме 3,2, за да получим всеки следващ член." Но това е друг интересен начин да я определим. Този начин за определянето на редицата, при който я задаваме като алгебрична функция, която е определена за всички положителни цели числа, където имаме базов случай. А базовият случай ни дава първия член и след това имаме този втори случай, който е определен по отношение на функцията. След това трябва да се върнем назад, за да можем евентуално да получим базовия случай. Това се нарича рекурентно задаване на функция. Рекурентно зададена функция. С този пример виждаме как може да бъде използвана една рекурентно зададена функция, за да определим една числова редица. Като ние тръгнахме подред тук, но бихме могли да тръгнем по обратния път. А ако търсим g(6)? Тогава попадаш в този случай и ще кажеш: "Това е g(5) плюс 3,2." Ще имаме предишния член плюс 3,2 ако я разглеждаме като редица. Добре, тогава ще трябва да намерим колко е предишният член. g(5) е g(4) плюс 3,2. И след това продължаваш да се връщаш назад и назад, и назад. Но ние вече намерихме колко е g(4). То е 13,6. Така че това е 16,8. И след това към g(5), което е 16,8 прибавяш 3,2 и получаваш 20. И така можеш да започнеш с g(6) и да продължиш, като се връщаш назад, чак докато не стигнеш до g(1) и след това намираш колко е това. Връщаш се обратно към базовия случай и след това ще можеш да попълниш всички празни места. Нека направим още няколко примера за това. Дадена е тази функция тук. Да кажем, че тя определя редица. Нека помислим какви ще бъдат първите четири члена от тази редица и още веднъж ти препоръчвам да спреш видеото на пауза и да ги намериш самостоятелно. Добре, нека го направим заедно. h(1) е... много ясно ни е казано, че то е 14. Ако n е равно на 1, h е 14. Колко е h(2)? Сега попадаме в този случай, защото 2 е по-голямо от 1 и е естествено число, ще имаме 28 върху h(1). Добре, знаем, че h(1) е 14, така че имаме 28 върху 14, което е равно на 2. Сега h(3). При h(3) попадаме отново в този случай. Това ще бъде 28 делено на h(2). Ако разглеждаме това като редица, делено на предишния член в редицата. И така, 28 делено на h(2)... Знаем, че h(2) е равно на 2. Преди малко го намерихме. Така че се връщаме обратно на 14, нещо много интересно. Мисля, че виждаш накъде отива това. h(4) ще бъде 28 делено на h(3), но h(3) току-що го намерихме. Или делено на 14, което ни връща до 2. Ако разглеждаме това като редица, ще кажем: "Първият член е 14, след това отиваме до 2, след това отиваме до 14, след това отиваме до 2." Един от начините да разглеждаме тази редица е като просто продължаваме да редуваме 14 и 2. Всички нечетни членове на редицата са 14, а всички четни членове на редицата са 2. Това е единият от начините да я разглеждаме. Другият начин да я разглеждаме е, че започваме с 14 и всеки следващ член е предишният член, разделен на, т.е. 28, делено на предишния член. Така че тук 28 / 14 = 2. 28 / 2 = 14 28 /14 = 2. И продължаваме нататък и нататък, и нататък, и точно това беше нещото, което всъщност се случва ето там. Нека решим още една от тези задачи. Като тази е интересна, защото сега имаме два базови случая. Нека помислим върху това. Търсим колко е f(4) и попадаме в този случай. 4 е по-голямо от 2 и е естествено число. Ще имаме f(4) минус 2, така че ще имаме f(2) + f(4 –1), т.е. плюс f(3). Така че f(4) е сборът от предишните 2 числа. Добре, нека намерим f(3). f(3) попада отново в този случай, имаме f(3 – 2) е f(1), плюс f(3 – 1), плюс f(2), т.е. сборът от предишните две числа. Нека намерим колко е f(2). Сега вече нямаме сбора от предишните две числа. Попадаме в този базов случай. Сега n е равно на 2. То ще бъде равно на минус 4. И сега ще намерим също колко е f(1). Виждаме, че когато n е равно на 1, f е равно на минус 6. Тук имаме два базови случая. Базови случаи са тези случаи, които не са определени по отношение на самата функция. Те са необходими, защото в противен случай просто вечно ще се връщаш назад. Никога няма да стигнеш до действителни числа. Но сега можем да използваме тези, за да попълним стойностите тук. Редицата започва с минус 6, след това отиваме до минус 4 като втори член от редицата, и след това третият член е сборът от предишните два. Минус 6 плюс минус 4 е минус 10. И след това четвъртият член е сборът от предишните два. Виждаме това ето тук. Вторият член f(2) плюс f(3). Минус 4 плюс минус 10 е минус 14. Като можем да продължим нататък по същия начин. И така, това тук е минус 14. Целта на това видео е по-добре да се запознаеш с рекурентното задаване на функции и как може да се използва за определяне на числови редици.