Текущ час:0:00Обща продължителност:7:07

Видео транскрипция

Задачата на това видео е да се запознаем с един много често срещан клас редици. А именно аритметичните прогресии. Обикновено те са много лесни за забелязване. Това са редици, при които всеки член е по-голям от члена преди него с едно постоянно число . Целта ми е да установя кои от тези редици са аритметични прогресии. И след това, за да придобием известен опит с някои от означенията за редици, искам да ги определим или като функции, зададени явно за члена, който търсим, или като рекурентни определения. Първо, дадено е, че за една аритметична прогресия всеки член е по-голям от предишния с фиксирана величина , тогава кои от тези редици са аритметични прогресии? Нека разгледаме тази първата ето тук. За да отидем от минус 5 до минус 3 трябва да прибавим 2. След това, за да отидем от минус 3 до минус 1 трябва да прибавим 2. След това, за да отидем от минус 1 до 1 трябва да прибавим 2. Така че това явно е аритметична прогресия. Прибавяме една и съща величина всеки път. Има няколко начина, по които можем да определим редицата. Можем да кажем, че тя е с индекс n. Няма нужда винаги да използваме k. Този път ще използвам n, за да отбележа индекса. От n равно на 1 до безкрайност -- има два начина да я определим. Можем да я определим или като я зададем явно, или като я зададем рекурентно. И така, за да я зададем явно, записваме а с индекс n е равно на това, което е първият член. В този случай първият член е минус 5. Равно е на минус 5, плюс -- ще прибавим 2 с един път по-малко пъти от номера на члена. За втория член прибавяме 2 веднъж. За третия член прибавяме 2 два пъти. За четвъртия член към първия член прибавяме 2 три пъти. Така че ще прибавим 2. Прибавяме плюс 2 с един път по-малко пъти от индекса на члена, който разглеждаме -- по n минус 1. Това е явно зададеното определение на тази аритметична прогресия. Ако искаме да я представим чрез рекурентна формула, тогава казвам, че а с индекс 1 е равно на минус 5. И след това всеки следващ член, за а с индекс 2 и по-големите от него -- казваме, че а с индекс n е равно на а с индекс n минус 1 плюс 3. Всеки член е равен на предишния -- о, тук не е 3, а е плюс 2. Това е за n по-голямо от или равно на 2. И така, и двата начина са напълно правилни начини за определяне на аритметичната прогресия, която имаме тук. Можем да я зададем или явно, или рекурентно. Сега нека разгледаме тази редица. Тя аритметична прогресия ли е? Тръгваме от 100 и прибавяме 7. 107 до 114, прибавяме 7. 114 до 121, прибавяме 7. Така че това наистина е аритметична прогресия. Само за да съм ясен, тази е такава и тази ето тук. Можем да напишем, че това е редицата а с индекс n, като n е от 1 до безкрайност, за редицата а с индекс n, за да я зададем явно, записваме: е равно на 100 плюс 7 всеки път. И след това всеки член -- за втория член прибавяме 7 един път. Третият член -- прибавяме 7 два пъти. За n-тия член ще прибавим 7 n минус 1 пъти. Това е определението за явно задаване на редицата, но можем също така да я зададем рекурентно. Само да изясня, това е едното определение, при което я пишем по този начин, или можем да я напишем като а с индекс n, при n равно на 1 до безкрайност. Като и в двата случая би трябвало да напиша "при". За да я определя, като я задам рекурентно, казвам, че а с индекс 1 е равно на 100. И след това за всеки по-голям от 1 член, за всеки индекс над 1, а с индекс n е равно на предишният член плюс 7. И по този начин сме готови. Това е друг начин да я определим. Ако искаш един обобщаващ начин как да забелязваш или да определяш една аритметична прогресия, би могъл да кажеш, че една аритметична прогресия ще бъде от вида а с индекс n, ако говорим за безкрайна редица - от n равно на 1 до безкрайност. Ако искаш да я определиш чрез явно задаване, можеш да кажеш, че а с индекс n е равно на някаква константа, която е бъде първият член, ще има някаква константа плюс някакво число, което нараства, -- но това може да бъде и отрицателно число -- или намалява -- по n минус 1. И така, това е единият от начините за определяне на аритметична прогресия. В този случай d беше 2. В този случай d е 7. Това е колко прибавяш всеки път. В този случай k е минус 5, а в този случай k е 100. Другият начин, ако исках да определя аритметичната редица общо чрез рекурентно задаване на членовете, можеш да кажеш а с индекс 1 е равно на k, а след това: а с индекс n е равно на а с индекс n минус 1 плюс d. Даден член е равен на предишния член плюс d за n по-голямо или равно на 2. Още веднъж, това е явно задаване на редицата. Това е рекурентният начин да я определим. И просто ще напишем там "при". Последният въпрос е дали тази редица тук е аритметична прогресия? Ами нека го проверим. Започваме с 1. След това прибавяме 2. След това прибавяме 3. Това веднага ни подсказва, че това не е аритметична прогресия. Сега прибавяме 4. Прибавяме различна величина всеки път. Така че тази редица не е аритметична прогресия. Но как можем да я определим, след като се опитваме да определим тези редици? Нека кажем, че искаме да я определим чрез рекурентно задаване. Можем да кажем, че това е равно на а с индекс n, където n започва от 1 и стига до безкрайност, при -- ще кажем базовия случай -- а с индекс 1 е равно на 1. И след това, когато n е 2 или по-голямо, а с индекс n ще бъде равно на какво? а с индекс 2 е предишният член плюс 2. а с индекс 3 е предишният член плюс 3. а с индекс 4 е предишният член плюс 4. Така че ще имаме предишният член плюс толкова, колкото е индексът на члена. Това изглежда близко, но забележи, че тук променяме стойността, която прибавяме въз основа на това какъв е индексът. Прибавяме стойността на индекса към предишния член. И така, това е за n по-голямо или равно на 2. За една аритметична прогресия прибавяме една и съща стойност, независимо от това какъв е индексът. Тук прибавяме самия индекс. Така че това не е аритметична прогресия, но въпреки това е една интересна редица.