If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:18

Видео транскрипция

В това видео искам да те запозная с понятието редица. Най-общо казано редиците са наредени списъци с числа. Например, може да имам крайна редица – което означава, че в нея има краен брой числа. Ако например започна с 1 и продължавам като прибавям 3. 1 плюс 3 е 4. 4 плюс 3 е 7. 7 плюс 3 е 10. Имаме само тези четири члена тук. Това е крайна редица. Но има и безкрайни редици. Пример за безкрайна редица – да кажем, че започваме от 3 и продължаваме като прибавяме 4. Така че отиваме от 3 до 7, до 11, 15. Не е нужно винаги да прибавяме едно и също нещо. Ще разгледаме още по-необикновени редица. Редиците, при които прибавяме една и съща величина, наричаме аритметични прогресии, и тях също ще разгледаме по-подробно. Но за да покажем, че това е безкрайно, за да покажем, че продължаваме тази редица нататък и нататък, ще поставя 3 точки. Това просто означава, че продължаваме нататък. Можем да наречем това безкрайна редица. Има много различни означения на редици, които изглеждат сложни. Но това е всичко, за което се отнасят. Искам да придобиеш увереност в това как се означават редиците и как се определят. Можем да кажем, че това тук е редицата а с индекс k, като k е от 1 до 4, която е равна на това тук. Когато я разглеждаме по този начин, можем да разглеждаме всеки от тези като членове на редицата. Това тук ще бъде първият член. Можем да го означим с индекс 1. Това тук ще бъде вторият член. Ще го означим с индекс 2. Мисля, че добиваш представа – а с индекс 3. Това тук е а с индекс 4. Това просто ни казва всички членове а с индекс k от k = 1, т.е. от първия член чак до четвъртия член. Но мога също да определя редицата, като я опиша по различен начин. Мога да определя редицата като явно зададена чрез един вид означение за функция или нещо близко до означението за функция. И така, мога да определя точно същата редица, като а с индекс k, от k равно на 1 до 4, при... вместо подробно записаните числа тук, бих могъл да кажа а с индекс k е равно на някаква функция от k. Да видим какво се случва. Когато k е 1, получаваме 1. Когато k е 2, получаваме 4. Когато k е 3, получаваме 7. Да видим. Когато k е 3, прибавихме 3 два пъти. Нека го изясня. Това беше плюс 3. Това тук беше плюс 3. Това тук е плюс 3. Независимо колко е k, започнахме от 1 и прибавяхме 3 с един път по-малко от номера на члена k. Така че можем да кажем, че това ще бъде равно на 1 + (k – 1) по 3 или може би трябваше да напиша 3( k – 1). 3( k – 1). Като ти можеш да провериш, че това е така. Ако k = 1, ще получиш 1 минус 1 е 0. По този начин а с индекс 1 ще бъде 1. Ако k = 2, ще имаш 1 плюс 3, което е 4. Ако k = 3, получаваш 1+ (3)(2) = 7. Така че това е вярно. Това е един от начините да зададем явно редицата, с това означение за функция. Искам да го изясня – по същество тук определих една функция. Ако исках по-традиционно означение за функция, можех да напиша а(k), където k е членът, който ме интересува, а(k) = 1+ 3(k – 1) Това по същество е функция, при която позволените аргументи, дефиниционното множество е ограничено до положителните цели числа. Сега, как ще означа това нещо тук? Ами бих могъл да кажа, че това е равно на... хората са склонни да използват а, но бих могъл да използвам означението b с индекс k или нещо друго. Но отново ще напиша а – а с индекс k. И тук тръгваме от първия член – това е а с индекс 1, това е а с индекс 2 – чак до безкрайност. Или можем да я определим – ако искахме да я зададем явно като функция – можехме да напишем тази редица като а с индекс k, където k започва от първия член и стига до безкрайност, при а с индекс k е равно на... започваме от 3 и прибавяме 4 с един път по-малко. За втория член прибавяме 4 веднъж. За третия член прибавяме 4 два пъти. За четвъртия член прибавяме 4 три пъти. Така че прибавяме 4 с един път по-малко от номера на члена, при който се намираме. Това е плюс 4 по k минус 1. Следователно това е друг начин за определяне на тази безкрайна редица. Сега, в двата случая я определих като явно зададена функция. Това тук е явно зададена функция. Това не е приятен цвят. Нека го напиша с... Това е явно зададена функция. Тук вероятно ще попиташ какъв е другият начин за определянето на тези функции. Можем също да я определим, особено нещо като тази аритметична прогресия, можем да я зададем също и рекурентно. Искам да съм ясен – не всяка редица може да бъде определена като явно зададена функция по този начин или като рекурентно зададена функция. Но много от тях могат, включително и тази, която е аритметична прогресия, при която всеки път прибавяме една и съща сума отново и отново. И така, как можем да направим това? Друг начин да определим тази първата редица е като кажа а с индекс k, започвайки от k равно на 1 и стигайки до 4 при... Когато определяш дадена редица рекурентно, трябва да определиш какъв е първият член, при а с индекс 1 е равно на 1. Можеш да определиш всеки друг член по отношение на члена преди него. Тогава бихме могли да напишем а с индекс k е равно на предишния член плюс... това е а с индекс k – 1... всеки член е равен на предишния член плюс... ето това е предишният член... ...в този случай прибавяме всеки път 3. Какво означава това? Определяме колко е а с индекс 1. И ако някой попита какво се случва когато k = 2? Ще кажем, добре, това е а с индекс 2 минус 1. Така че имаме а с индекс 1 плюс 3. Знаем, че а с индекс 1 е 1. Така че ще имаме 1 плюс 3, което е 4. Какво ще кажем за а с индекс 3? Ами то ще бъде а с индекс 2 плюс 3. а с индекс 2 току-що изчислихме като 4. Прибавяш 3. И става равно на 7. Това е нещото, което по същество мислено направихме, когато написахме първо редицата и решихме, че просто ще започнем с 1. И ще прибавяме 3 за всеки следващ член. И така, как ще направим тази? Още веднъж, можем да я напишем като а с индекс k. Започва от k, първият член, и стига до безкрайност. Първият член, а с индекс 1, е 3. И всеки следващ член, а с индекс k, е предишният член, а с индекс k минус 1, плюс 4. Още веднъж, започваш от 3. И след това, ако търсиш втория член, той ще бъде първият член плюс 4. Ще имаме 3 плюс 4. Стигаш до 7. И продължаваш да прибавяш 4. Така че и двете са рекурентно зададена редица. Започваме с базовия случай. И след това всеки член е определен по отношение на члена преди него или по отношение на самата функция, но функцията за различен член.