If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:10:45

Видео транскрипция

В това видео искам да те запозная с идеята за геометрична прогресия. Имам доста по-подробни видеа по темата, но това е наистина добро място за начало, просто за да разбереш какво имаме предвид, когато говорим за геометрична прогресия. Добра отправна точка е просто да уточним какво е редица. Редица е, можеш да си представиш, просто редица от числа. Например, и това дори не е геометрична прогресия, ако изредя просто 1, 2, 3, 4, 5. Това е редица от числа. Това не е геометрична прогресия, а е редица. Геометричната прогресия е специална редица или специална последователност от числа, където всяко следващо число е фиксирано кратно на числото преди него. Нека обясня какво имам предвид. Нека първото число е 2 и след това умножавам 2 по числото 3. Умножавам го по 3 и получавам 6. След това умножавам 6 по числото 3 и получавам 18. След това умножавам 18 по числото 3 и получавам 54. И просто продължавам по същия начин. Просто продължавам да умножавам по числото 3. Така, както започнах, ако искаме специално записване тук, това е моят първи член. Ще го наречем а1 за моята редица. Всеки път съм го умножил по едно и също число и това число често се нарича частно. Така че в този случай a1 е равно на 2 и частното е равно на 3. Ако някой ти каже: "Хей, имаш геометрична прогресия. а1 е равно на 90 и частното е –1/3." Това означава, че първият член на тази редица е 90. Вторият член е –1/3 по 90. Което е колко? Това е –30, нали? 1/3 по 90 е 30 и след това поставяш отрицателен знак. Тогава следващото число ще бъде 1/3 по това. Минус 1/3 по това. 1/3 по 30 е 10. Отрицателните знаци се унищожават, така че получаваш положително 10. Тогава следващото число ще бъде 10 по –1/3, или –10/3. И след това следващото число ще бъде –10/3 по –1/3, така че ще бъде положително 10/3. И можеш просто да продължиш с тази редица. Така че това имат предвид хората, когато говорят за геометрична прогресия. Искам да отбележа една малка разлика тук. Това винаги ме объркваше, защото термините се използват много често в един и същ контекст. Това са редици. Това са един вид последователности от числа. 2, после 6, после 18, 90, след това –30, след това 10, след това –10/3. После, съжалявам, това е положително 10/9, нали така? Минус 1/3 по минус 10/3, минусите се съкращават. Така. 10/9. Не искам да направя грешка тук. Това са редици. Може също да видиш думата серия. И дори може да видиш геометрични серии. Серия, най-конвенционалното значение на думата серия е сума от редици. Така например това е геометрична прогресия. Геометрична серия ще бъде 90 плюс –30, плюс 10, плюс –10/3, плюс 10/9. Така че общ начин да разглеждаш това е като сума от числови редици. Просто искам да уточня, защото това ме объркваше преди доста, когато за първи път чух за тези неща. Но така или иначе, нека се върнем към понятието за геометрична прогресия и всъщност да решим текстова задача, в която имаме подобна редица. Дадено е, че Ан прави скокове с бънджи от мост над водата. Така че Ан скача с бънджи. При първоначалния скок въжето се разтяга до 120 фута. При a1, нашият първоначален скок, въжето се разтяга до 120 фута. Можем да го напишем по този начин. Бихме могли да напишем – скок и след това колко се разтяга въжето. Така при първоначалния скок, при първия скок, въжето се разтяга 120 фута. След това имаме, че при следващия скок разтягането е 60 % от това на първоначалния скок и след това при всяко следващо скачане въжето се разтяга с 60 % от предишната дължина. Това е частното, където всеки следващ член в нашата прогресия ще бъде 60 % от предходния член. Или това ще бъде 0,6 по предходния член. Така на втория скок ще започнем с 60 % от това или 0,6 по 120. Което е равно на какво? Това е равно на 72. След това на третия скок ще се разтегли 0,6 от 72 или 0,6 по това. Така, това би било 0,6 по 0,6 по 120. Обърни внимание на това тук, така че на четвъртия скок ще имаме 0,6 по 0,6 по 0,6 по 120. 60 % от този скок значи всеки път имаме 60 % от предишния скок. Ако искахме да направим една обща формула за това, просто въз основа на начина, по който сме го дефинирали тук. Колко ще е разтягането при n-тия скок? Нека да видим, започваме при 120 по 0,6 на каква степен? На n – 1. Как получих това? Ще запиша това тук. Това е равно на 0,6... всъщност нека да запиша 120 първо. Това се равнява на 120 по 0,6 на степен (n – 1). Как получих това? Ние сме определили първия скок като разтягане от 120 фута. Когато поставим n = 1 тук, получаваме 1 – 1 = 0. Така имаш 0,6 на 0-ва степен и получаваш 1 тук. И това е точно какво се е случило при първия скок. След това на втория скок слагаш 2 – 1 и виждаш, че 2 – 1 е равно на първа степен, и имаме точно едно 0,6 тук. Аз разбрах, че е n – 1, защото когато n е 2, имаме едно 0,6, когато n е 3 имаме две 0,6, умножено е по самото себе си. Когато n е 4, имаме 0,6 на трета степен. Така че каквото и да е n, взимаме 0,6 на степен n – 1, и разбира се, умножаваме това по 120. Също така се търси какво ще бъде разтягането на въжето при 12-тия отскок? Тук ще използвам калкулатор. Всъщност нека да коригирам това малко. Това не е неправилно, но се говори за отскок и можем да наречем скока нулево отскачане. Нека да променим това. Това не е грешно, но мисля, че това е мястото, където имаме проблем. Можеш да разглеждаш първоначалния скок като нулево отскачане. Така вместо да го обявяваме като скок, нека го напишем като отскок. Така че първоначалното разтягане е нулев отскок, тогава това ще е първи отскок, втори отскок, трети отскок. И след това нашата формула става много по-проста. Защото ако кажем, че разтягането на n-тия отскок, тогава формулата просто става 0,6 на степен n-та, по 120, нали? На нулевият отскок имаме нашето оригинално разтягане, получаваме 0,6 на нулева степен 0, което е 1 по 120. На първия отскок имаме 0,6 на 1-ва, едно 0,6 тук. 0,6 по предишното разтягане или предишния отскок. Това е от гледна точка на отскоците, което мисля, е това, което се иска от нас да направим. Тогава какво имаме за 12-тия отскок? Като ползваме тази уговорка тук. За да намерим 12-тия отскок нека просто да си извадим калкулатора. Ще имаме 120 по 0,6 на 12-та степен. И, надявам се, че ще получим реда на действията правилно, защото степенните показатели имат предимство пред умножението, така че просто ще взема само 0,6 на 12-та степен. И така, това е равно на 0,26 фута. След 12-тия отскок тя едва ще се движи. Тя ще се движи на около 3 инча на 12-тия отскок. Е, надявам се това да ти е било полезно. Извинявам се за лекото разминаване тук, но аз всъщност мисля, че в известна степен това е поучително. Защото винаги трябва да се увериш, че твоето n отговаря на резултатите. Когато говорихме за първия скок, аз казах, добре, това е 1. И след това имах 0,6 на нулева степен, така че направих n – 1. Но след това, като преименувах нещата по отношение на отскоците, това беше нулев отскок. Това има смисъл за това 0,6 на нулева степен. Това е първият отскок, така че това ще бъде 0,6 на първа степен. Вторият отскок, 0,6 на втора степен. Това опрости малко нашето уравнение. Във всеки случай, надявам се, че ти е било интересно.