Една система от линейни уравнения обикновено има едно решение, но понякога може да няма решение (при успоредни прави) или да има безкраен брой решения (когато е една и съща права). Тази статия разглежда всички три случая.
Искаш ли да научиш повече за броя на решенията на системите от уравнения? Виж това видео.

Пример за система с едно решение

Трябва да намерим броя на решенията на тази система от уравнения:
y=6x+83x+y=4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ 3x+y&=-4 \end{aligned}
Нека преобразуваме уравненията във вида уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с оста y:
y=6x+8y=3x4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ y&=-3x-4 \end{aligned}
Тъй като ъгловите коефициенти са различни, правите трябва да се пресичат. Ето графиките:
Тъй като правите се пресичат в една точка, има едно решение на системата от уравнения, представена графично от правите.

Пример за система без решение

Трябва да намерим броя на решенията на тази система от уравнения:
y=3x+9y=3x7\begin{aligned} y &= -3x+9\\\\ y &= -3x-7 \end{aligned}
Без да представяме графично тези уравнения, можем да видим, че и двете имат ъглов коефициент (наклон) 3-3. Това означава, че правите трябва да бъдат успоредни. И тъй като пресечните точки с оста yy са различни, знаем, че правите не са една върху друга.
Няма решение на тази система от уравнения.

Пример за система с безкраен брой решения

Трябва да намерим броя на решенията на тази система от уравнения:
6x+4y=23x2y=1\begin{aligned} -6x+4y &= 2\\\\ 3x-2y &= -1 \end{aligned}
Интересното е, че ако умножим второто уравнение по 2-2, получаваме първото уравнение:
3x2y=12(3x2y)=2(1)6x+4y=2\begin{aligned} 3x-2y &= -1\\\\ \blueD{-2}(3x-2y)&=\blueD{-2}(-1)\\\\ -6x+4y &= 2 \end{aligned}
С други думи уравненията са еквивалентни и споделят една и съща графика. Всяко решение, което става за едното уравнение, ще става също и за другото, така че има безкраен брой решения на системата.

Упражнения

Искаш ли още упражнения? Виж тези упражнения:
Зареждане