Научи за декартовата форма на линейните уравнения с две променливи и как да я интерпретираме, за да намерим ъгловия коефициент и пресечната точка с оста у на съответните прави.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

  • Какво представлява уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка като форма на линейно уравнение с две неизвестни
  • Как да намериш ъгловия коефициент (наклона) и пресечната точка с оста yy на права от нейното уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка
  • Как да намериш уравнението на права, когато са дадени ъгловият ѝ коефициент (наклона) и пресечната точка с оста yy

Какво представлява уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка?

Уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е специфична форма на линейните уравнения. То има следния основен строеж. Барабани моля ...
y=mx+b\Large y=\maroonC{m}x+\greenE{b}
Тук m\maroonC{m} и b\greenE{b} могат да са всеки две реални числа. Например тези линейни уравнения са представени като уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка:
  • y=2x+1y=2x+1
  • y=3x+2,7y=-3x+2{,}7
  • y=10100xy=10-100x
    Вярно е, че това уравнение е различно от предишните, защото константният член—т.е. обикновеното число—се намира преди члена xx.
    Въпреки това, тъй като събирането е комутативно, това по същество е същият вид. Можем да кажем, че това уравнение е от вида y=b+mxy=\greenE{b}+\maroonC{m}x вместо от y=mx+by=\maroonC{m}x+\greenE{b}, но те означават едно и също нещо.
От друга страна тези линейни уравнения не са представени като уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка:
  • 2x+3y=52x+3y=5
  • y3=2(x1)y-3=2(x-1)
  • x=4y7x=4y-7
Уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е най-известната форма на линейните уравнения. Нека проучим по-задълбочено, за да видим защо това е така.

Коефициенти чрез наклон и пресечна точка

Освен че е ясно и опростено, предимство на уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е, че то дава две основни характеристики на правата, която представя:
  • Ъгловият коефициент (наклонът) е m\maroonC{m}.
  • Координатата yy на пресечната точка с оста yy е b\greenE{b}. Казано по друг начин, пресечната точка с оста yy е с координати (0;b)(0;\greenE{b}).
Например правата y=2x+1y=\maroonC{2}x\greenE{+1} има ъглов коефициент (наклон) 2\maroonC{2} и пресечна точка с оста yy в (0;1)(0;\greenE{1}):
Фактът, че този вид ни дава ъгловия коефициент и пресечната точка с оста yy е причината на първо място да се нарича уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка!

Провери знанията си

Задача 1
Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението y=5x7y=5x-7?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Задача 2
Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението y=x+9y=x+9?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Задача 3
Коя е пресечната точка с оста yy на права, представена чрез уравнението y=6x11y=-6x-11?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача 4
Коя е пресечната точка с оста yy на права, представена чрез уравнението y=4xy=4x?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача 5
Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението y=18xy=1-8x?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Задача 6
Кои прави имат пресечна точка с оста yy в точката (0;4)(0;4)?
Избери всички правилни отговори:
Избери всички правилни отговори:

Задача за размисъл
Как намираме наклона на права, която е дадена чрез наклон и пресечна точка?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност 1
Кое от следните уравнения може да отговаря на тази права?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност 2
Напиши уравнение на права с наклон 1010 и пресечна точка с оста yy в (0,20)(0,-20).

Защо това върши работа?

Може би се чудиш как така в уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка ъгловият коефициент е m\maroonC{m}, а b\greenE{b} е пресечната точка с оста yy.
Може ли това да е някакъв вид магия? Ами това определено не е магия. В математиката винаги има обосновка. В този раздел ще разгледаме това свойство, като използваме уравнението y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1} като пример.

Защо b\greenE{b} е пресечната точка с оста yy

В пресечната точка с оста yy стойността на xx е винаги нула. Така че ако искаме да намерим пресечната точка с оста yy на уравнението y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1}, трябва да заместим с x=0x=0 и да намерим колко е yy.
y=2x+1=20+1Заместване с x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Заместване с }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Виждаме, че в пресечната точка с оста yy 2x\maroonC{2}x става нула и следователно получаваме y=1y=\greenE{1}.
Ако искаме да намерим пресечната точка с оста yy на уравнението y=mx+by=\maroonC{m}x+\greenE{b}, трябва да заместим с x=0x=0 и да намерим yy.
y=mx+b=m0+bЗаместване с x=0.=0+b=b\begin{aligned} y&=\maroonC{m}x+\greenE{b} \\\\ &=\maroonC{m}\cdot 0+\greenE{b}&\text{Заместване с }x=0. \\\\ &=0+\greenE{b} \\\\ &=\greenE{b} \end{aligned}
Виждам, че в пресечната точка с оста yy mx\maroonC{m}x става нула и получаваме y=by=\greenE{b}. Поради тази причина b\greenE{b} винаги е пресечната точка с оста yy.

Защо m\maroonC{m} е ъгловият коефициент (наклонът)

Нека си припомним какво точно е ъгловият коефициент. Ъгловият коефициент е отношението между изменението на yy и изменението на xx между всеки две точки от правата.
Ъглов коефициент=Промяната на yПромяната на x\text{Ъглов коефициент}=\dfrac{\text{Промяната на }y}{\text{Промяната на }x}
Ако вземем две точки, за които изменението на xx е точно 11 единица, тогава изменението на yy ще бъде равно на самия ъглов коефициент (наклон).
Ъглов коефициент=Промяната на y1=Промяната на y\text{Ъглов коефициент}=\dfrac{\text{Промяната на }y}{1}=\text{Промяната на }y
Сега нека погледнем какво се случва със стойностите на yy в уравнението y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1}, когато стойностите на xx се увеличават постоянно с 11 единица.
xxyy
001+02\greenE{1}+0\cdot\maroonC{2}=1= \greenE{1}
111+12\greenE{1}+1\cdot\maroonC{2}=1+2=\greenE{1}+\maroonC{2}
221+22\greenE{1}+2\cdot\maroonC{2}=1+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
331+32\greenE{1}+3\cdot\maroonC{2}=1+2+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
441+42\greenE{1}+4\cdot\maroonC{2}=1+2+2+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
Виждаме, че всеки път когато xx нараства с 11 единица, yy се увеличава с 2\maroonC{2} единици. Това е така, защото xx определя с колко пъти по 2\maroonC{2} се променя yy.
Както заявихме по-горе, изменението на yy, което съответства на увеличаването на xx с 11 единица, е равно на ъгловия коефициент (наклона) на правата. Поради тази причина ъгловият коефициент е 2\maroonC{2}.
Нека видим, какво се случва със стойностите на yy при общия вид на уравнението y=mx+by=\maroonC{m}x+\greenE{b}, когато стойностите на xx постоянно нарастват с 11 единица.
xxyy
00b+0m\greenE{b}+0\cdot\maroonC{m}=b= \greenE{b}
11b+1m\greenE{b}+1\cdot\maroonC{m}=b+m=\greenE{b}+\maroonC{m}
22b+2m\greenE{b}+2\cdot\maroonC{m}=b+m+m=\greenE{b}+\maroonC{m}+\maroonC{m}
33b+3m\greenE{b}+3\cdot\maroonC{m}=b+m+m+m=\greenE{b}+\maroonC{m}+\maroonC{m}+\maroonC{m}
44b+4m\greenE{b}+4\cdot\maroonC{m}=b+m+m+m+m=\greenE{b}+\maroonC{m}+\maroonC{m}+\maroonC{m}+\maroonC{m}
Виждаме, че всеки път, когато xx се увеличава с 11 единица, yy се увеличава с m\maroonC{m} единици. Това е така, защото xx задава кратното на m\maroonC{m} за стойността на yy.
Както е посочено по-горе, изменението на yy, което съответства на xx, увеличено с 11 единица, е равно на ъгловия коефициент на правата. По тази причина m\maroonC{m} винаги дава ъгловия коефициент.
Задача с повишена трудност 3
Попълни уравнението на правата.
y=y=

Зареждане