Основно съдържание

Алгебра 1

Курс: Алгебра 1 > Раздел 5

Урок 1: Въведение към уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка

Въведение към уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка

Научи за декартовата форма на линейните уравнения с две променливи и как да я интерпретираме, за да намерим ъгловия коефициент и пресечната точка с оста у на съответните прави.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Би трябвало да знаеш какво са линейни уравнения с две неизвестни. И по специално би трябвало да знаеш, че графиката на такива уравнения е права. Ако това е нещо ново за теб, виж въведението към уравнения с две неизвестни.
Би трябвало също да познаваш следните характеристики на линейните уравнения: пресечна точка с оста y, пресечна точка с оста x и ъглов коефициент (наклон).

Какво ще научиш в този урок

Какво представлява уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка като форма на линейно уравнение с две неизвестни
Как да намериш ъгловия коефициент (наклона) и пресечната точка с оста y на права от нейното уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка
Как да намериш уравнението на права, когато са дадени ъгловият ѝ коефициент (наклона) и пресечната точка с оста y

Какво представлява уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка?

Уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е специфична форма на линейните уравнения. То има следния основен строеж. Барабани моля ...

y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f

Тук start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 и start color #0d923f, b, end color #0d923f могат да са всеки две реални числа. Например тези линейни уравнения са представени като уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка:

y, equals, 2, x, plus, 1
y, equals, minus, 3, x, plus, 2, comma, 7
y, equals, 10, minus, 100, x
[Но това уравнение има x в последния член!]

От друга страна тези линейни уравнения не са представени като уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка:

2, x, plus, 3, y, equals, 5
y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
x, equals, 4, y, minus, 7

Уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е най-известната форма на линейните уравнения. Нека проучим по-задълбочено, за да видим защо това е така.

Коефициенти чрез наклон и пресечна точка

Освен че е ясно и опростено, предимство на уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка е, че то дава две основни характеристики на правата, която представя:

Ъгловият коефициент (наклонът) е start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
Координатата y на пресечната точка с оста y е start color #0d923f, b, end color #0d923f. Казано по друг начин, пресечната точка с оста y е с координати left parenthesis, 0, ;, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.

Например правата y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f има ъглов коефициент (наклон) start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 и пресечна точка с оста y в left parenthesis, 0, ;, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:

Фактът, че този вид ни дава ъгловия коефициент и пресечната точка с оста y е причината на първо място да се нарича уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка!

Провери знанията си

Задача 1

Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението y, equals, 5, x, minus, 7?

Задача 2

Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението y, equals, x, plus, 9?

Задача 3

Коя е пресечната точка с оста y на права, представена чрез уравнението y, equals, minus, 6, x, minus, 11?

(Избор А)
left parenthesis, 0, ;, minus, 6, right parenthesis
(Избор Б)
left parenthesis, 0, comma, minus, 11, right parenthesis
(Избор В)
left parenthesis, minus, 6, comma, 0, right parenthesis
(Избор Г)
left parenthesis, minus, 11, comma, 0, right parenthesis

Задача 4

Коя е пресечната точка с оста y на права, представена чрез уравнението y, equals, 4, x?

(Избор А)
left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis
(Избор Б)
left parenthesis, 0, ;, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, right parenthesis
(Избор В)
left parenthesis, 0, ;, 4, right parenthesis
(Избор Г)
left parenthesis, 0, ;, minus, 4, right parenthesis

Задача 5

Какъв е наклонът на права, представена чрез уравнението y, equals, 1, minus, 8, x?

Задача 6

Кои прави имат пресечна точка с оста y в точката left parenthesis, 0, ;, 4, right parenthesis?

Задача за размисъл

Как намираме наклона на права, която е дадена чрез наклон и пресечна точка?

(Избор А)
Ъгловият коефициент е първото число, което се появява в уравнението.
(Избор Б)
Ъгловият коефициент е коефициентът на x независимо от реда.

Задача с повишена трудност 1

Кое от следните уравнения може да отговаря на тази права?

Задача с повишена трудност 2

Напиши уравнение на права с наклон 10 и пресечна точка с оста y в left parenthesis, 0, comma, minus, 20, right parenthesis.

Защо това върши работа?

Може би се чудиш как така в уравнението на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка ъгловият коефициент е start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, а start color #0d923f, b, end color #0d923f е пресечната точка с оста y.

Може ли това да е някакъв вид магия? Ами това определено не е магия. В математиката винаги има обосновка. В този раздел ще разгледаме това свойство, като използваме уравнението y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f като пример.

Защо start color #0d923f, b, end color #0d923f е пресечната точка с оста y

В пресечната точка с оста y стойността на x е винаги нула. Така че ако искаме да намерим пресечната точка с оста y на уравнението y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, трябва да заместим с x, equals, 0 и да намерим колко е y.

\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Заместване с }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}

Виждаме, че в пресечната точка с оста y start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x става нула и следователно получаваме y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

[Искам да видя доказателство, като използвам общия вид на уравнението y=mx+b!]

Защо start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 е ъгловият коефициент (наклонът)

Нека си припомним какво точно е ъгловият коефициент. Ъгловият коефициент е отношението между изменението на y и изменението на x между всеки две точки от правата.

start text, Ъ, г, л, о, в, space, к, о, е, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, start text, П, р, о, м, я, н, а, т, а, space, н, а, space, end text, y, divided by, start text, П, р, о, м, я, н, а, т, а, space, н, а, space, end text, x, end fraction

Ако вземем две точки, за които изменението на x е точно 1 единица, тогава изменението на y ще бъде равно на самия ъглов коефициент (наклон).

start text, Ъ, г, л, о, в, space, к, о, е, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, start text, П, р, о, м, я, н, а, т, а, space, н, а, space, end text, y, divided by, 1, end fraction, equals, start text, П, р, о, м, я, н, а, т, а, space, н, а, space, end text, y

Сега нека погледнем какво се случва със стойностите на y в уравнението y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, когато стойностите на x се увеличават постоянно с 1 единица.

x	y
0	start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6	equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1	start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6	equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2	start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6	equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3	start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6	equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4	start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6	equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6

Виждаме, че всеки път когато x нараства с 1 единица, y се увеличава с start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 единици. Това е така, защото x определя с колко пъти по start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 се променя y.

Както заявихме по-горе, изменението на y, което съответства на увеличаването на x с 1 единица, е равно на ъгловия коефициент (наклона) на правата. Поради тази причина ъгловият коефициент е start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.

[Искам да видя доказателство, като използвам общия вид на уравнението y=mx+b!]

Задача с повишена трудност 3

Попълни уравнението на правата.

y, equals

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.