Доказателство: има ирационално число между всеки две рационални числа

В това видео искам да докажа, че между всеки две рационални числа – нека това тук е рационално число – и това е друго рационално число, което е по-голямо от първото – между всеки две рационални числа, можеш да намериш ирационално число. Можеш да намериш ирационално число. Така че това число там е ирационално. Може да намериш поне едно ирационално число. И това е един вид странно, защото има много рационални числа. Има безкраен брой рационални числа. И ние твърдим, че между всеки две рационални числа винаги има ирационално число. Ще започнем да разсъждаваме върху това, просто като разгледаме интервала между 0 и 1. Ако помислим за интервала между 0 и 1, ние знаем, че в него има ирационални числа. Едно от тях, за което може да се досетиш, е 1 върху корен квадратен от 2, което е равно на корен квадратен от 2 върху 2, е равно – не трябваше да казвам равно, което е приблизително равно на 0,70710678118.... И аз мога просто да продължа нататък и нататък, и нататък, и нататък. Това нещо не се повтаря. Но важното нещо тук е, че то е между 0 и 1. Така че мога да напиша 1 върху корен квадратен от 2 е очевидно между 0 и 1. Начинът, по който ще докажа, че има ирационално число между всеки две рационални числа е, че ще започна с този набор от неравенства и ще го преработя, така че да завърша с r1 тук и r2 ето тук. И тогава от 1 върху корен квадратен от 2 ще преработя това, за да построя това ирационално – поне едно от ирационалните числа, което е между тези две рационални числа. Вместо да правя това като интервал между 0 и 1, нека го направя интервал между 0 и разликата между тези две числа. Така че разстоянието между r1 и r2 е r2 минус r1. Нека преработим двете страни на това – или всички три части на това неравенство. Предполагам, че мога да кажа, с r2 минус r1. Нека направим това. Ако умножиш това, 0 по r2 – r1, просто все още ще имаш 0 там, което е по-малко от... Знаем, че r2 > r1, така че r2 минус... нека изясня, какво правим. Ние ще умножим всичко по (r2 – r1). За r2 приемаме, че е по-голямо от r1, така че това нещо тук, ще бъде по-голямо от 0. Ако умножиш различните страни на неравенство с нещо по-голямо от 0, не обръщаш неравенството. 0 по това е 0, 1 върху корен квадратен от 2 по това ще бъде 1 върху корен квадратен от 2 по (r2 – r1). После това ще бъде по-малко от... 1 по това просто ще бъде (r2 – r1). И сега трябва само един вид да изместим всичко напред. Нека прибавим r1 към всички страни на това. Ако прибавим нещо към всички части на неравенството, тогава това също няма да промени неравенството. И така, ще прибавим r1 тук. Можем да прибавим r1 тук. И можем да прибавим r1 там. И така от лявата страна имаме r1 е по-малко от r1 плюс... нека само копирам всичко това, така че да не трябва да продължавам да сменям цветовете, Упс, не това исках да направя. Нека направя това. Готово. Добре. Това би трябвало да е достатъчно добре. Копирам и поставям това. r1 плюс това, плюс това... нека напиша плюса отдолу... плюс това, е по-малко от... това е различен нюанс на синьо... е по-малко от... добре, колко е r1 плюс r2 минус r1? Това просто е r2. Така че аз току-що ти показах, че ако ми дадеш които и да е две рационални числа и приемам, че r2 е по-голямо от r1, трябва само да построя ирационално число, което ще бъде между тези две рационални числа. Вземи r1, вземи по-ниското от рационалните числа, и към него прибави 1 върху корен квадратен от 2 по разликата между онези две рационални числа, и ще получиш това тук, което е ирационално число. Тук може да попиташ откъде знаем, че това нещо... как мога да съм убеден, че това нещо е ирационално? Ами, вече го видяхме. Като вземеш произведението от ирационално и рационално, получаваш ирационално число. Вземаш сбора от ирационално число и рационално число и получаваш ирационално число. Така че ние построихме ирационално число, което е между тези две рационални.