Решен пример: рационални или ирационални изрази (неизвестни)

Нека а и b са рационални числа и b е различно от нула. Уточнението, че b е различно от нула е важно, защото ще делим на b. а/b рационално или ирационално число е? Нека помислим, те и двете са рационални числа, което означава, че а, тъй като е рационално число, може да бъде изразено като отношение на две цели числа. Мога да напиша, че а е равно на m/n. Същото важи и за b, мога да го напиша като b = p/q. Като m, n, p и q са цели числа съгласно определението за рационално число. Казано ни е, че тези числа са рационални, така че мога да ги изразя като такъв тип отношение. И така, какво получаваме за а/b? а/b = m/n върху p/q, което е равно на m/n... Деленето на дроб е същото като умножаването по реципрочното ѝ. q/p, нека го напиша малко по-..., което е равно на mq/np. mq е цяло число, защото е произведение от две цели числа. np също е цяло число, защото е произведение от две цели числа. Току-що показах, че а/b може да бъде изразено като отношение от две цели числа. а /b е със сигурност – всъщност аз току-що ти доказах, че а/b със сигурност е рационално число. Нека решим още няколко от тези задачи, това е интересно. Сега ни е казано: "Нека a и b са ирационални числа. а/b рационално или ирационално число е? Спри видеото на пауза и помисли върху това. Можеш да вземеш няколко примера с ирационални числа и да видиш ако ги разделиш дали ще получиш рационални или ирационални числа. Добре, нека просто си представим свят, в който... нека кажем, че а е равно на... не знам... а е равно на 2 корен квадратен от 2, а b е равно на корен квадратен от 2. В този свят а/b ще бъде 2 корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2, което е 2. Две определено е рационално число и мога да го изразя като отношение на цели числа, като 2 върху 1, но има безкраен брой начини, по които да го изразя като отношение на две цели числа. В този случай успях да получа, че а/b е рационално число, имайки предвид, че а и b са ирационални. Но какво ще стане ако а е равно на корен квадратен от 2, а b е равно на корен квадратен от... да кажем b е равно на корен квадратен от 7. Ами тогава а/b ще бъде равно на корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 7, което също е ирационално число. Искам да кажа, че друг начин да го разглеждаме... като няма да го доказвам тук... това е корен квадратен от 2/7, така че под знака за корен имаме нещо, което не е точен квадрат, следователно ще получим накрая ирационално число. И така, показахме един пример, при който а/b е рационално и показахме един пример, при който е ирационално число, така че то може да бъде и двете. Нека решим още няколко от тези. Нека а бъде рационално число, различно от нула. а по корен квадратен от 8 рационално или ирационално е? Ключовият момент тук е, че умножаваш ирационално число и защо това е ирационално число? То съдържа точен квадрат, но самото не е точен квадрат. Корен квадратен от 8 е равно на корен квадратен от 4 по 2, което е равно на корен квадратен от 4 по корен квадратен от 2, което е равно на 2 корен квадратен от 2. Това е един вид кулминационната точка на тази задача, но ако умножа рационално по ирационално, ще получа ирационално число. Така че корен квадратен от 8 е ирационално число. И ако го умножа по рационално число, отново ще получа ирационално число. Така че това ще бъде със сигурност ирационално число. Нека решим още една от тези задачи. Имаме, че а е ирационално число. –24 + а рационално или ирационално е? Няма да ти давам официално доказателство тук, но ще ти покажа логиката. Хубаво е просто да опиташ с някои числа и ти препоръчвам да спреш видеото на пауза и да помислиш върху това самостоятелно. Нека просто си представим някои стойности, да си представим, че а е ирационално число. Какво ще имаме, ако а е равно на –π, което е приблизително равно на –3, 3,14159 и така нататък, и така нататък до безкрай, без да се повтаря. Добре, тогава щяхме да имаме –24 + а , което ще бъде равно на –24 –π, което ще бъде приблизително –27,14159, десетична дроб, в която всичко надясно от десетичната запетая е точно същото като π. Това прилича на ирационално число. Нека видим ако а беше корен квадратен от 2 минус 24 плюс корен квадратен от 2. Добре, още веднъж, няма да правя доказателства тук, но интуитивно – това ще бъде десетична дроб, то ще бъде безкрайна десетична дроб, която ще продължава завинаги и никога няма да се повтаря. По този начин това само ще промени каквото имаме отляво на десетичната запетая, но няма наистина да промени... Ще промени това, което имаме надясно от десетичната запетая, защото това е отрицателно, но също ще продължава завинаги и няма да се повтаря. Ако това беше по този начин, тогава надясно от десетичната запетая щеше да имаш същото като корен квадратен от 2. Наляво от запетаята просто да имаш различна стойност, имаш минус 25 запетая, каквото и да е. Следователно, когато събираш рационално и ирационално число, доказвал съм го в други клипове, рационално плюс ирационално ще бъде ирационално. Ако искаш доказателство за това, имаме други клипове в рамките на този раздел.