Сборове и произведения от ирационални числа

Нека имаме някакво число а и към него да прибавим някакво друго число b, като техният сбор ще бъде равен на c. В условието е дадено, че а и b са ирационални числа. Ирационални. Въз основа на информацията, която ти дадох, че а и b са ирационални, какъв ще бъде техният сбор c, рационално или ирационално число? Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да се опиташ да отговориш на този въпрос без моя помощ. Предполагам, че си се затруднил, защото отговорът всъщност е, че не знаем. Зависи от това какви ирационални числа са всъщност а и b. Какво имам предвид с това? Мога да избера две ирационални числа, чийто сбор всъщност ще бъде рационално число. Какво имам предвид? Какво ще стане, ако а = π, а b = 1 – π? И двете са ирационални числа. π е ирационално, а 1 – π, независимо каква е тази стойност, ще бъде също ирационално. Но ако ги съберем едно с друго, ако съберем π + (1 – π), те ще имат сбор, равен на 1, за което е ясно, че е рационално число. Така че успяхме да намерим случай, при който събираме две ирационални числа и сборът им е рационално число. Като цяло можеш да използваш този трик с всяко ирационално число. Вместо π можеше да имаш корен квадратен от 2 плюс едно минус корен квадратен от 2. И това с оранжевото е ирационално число, и това със синьото е ирационално число, но сборът им ще бъде рационално число. Като можеш да го направиш, вместо да има 1 минус, можеш да имаш 1/2 минус. Можеш да използваш множество различни комбинации, така че да получиш сбор, който е рационално число. Но можеш също така лесно да събереш две ирационални числа и да получиш също ирационално число. Например ако а = π и b = π, тогава техният сбор ще бъде равен на 2пи, което също e ирационално число. Или ако събереш π плюс корен квадратен от 2, това също ще бъде ирационално число. Всъщност математически ще изразя това просто като π + корен квадратен от 2. Това тук е някакво число, но това също ще бъде ирационално число. Така че основният извод тук е, че ако имаш сбор от две ирационални числа и не ти е казано кои точно са тези ирационални числа, не можеш да знаеш дали техният сбор ще бъде рационално или ирационално число. Сега нека разгледаме произведенията. Подобно упражнение. Нека кажем, че имаме а по b е равно на c, а по b е равно на c. Още веднъж да предположим, че по условие а и b са ирационални числа. Спри видеото на пауза и помисли дали c ще бъде рационално, ирационално или просто не знаем. Опитай да намериш няколко примера, както преди малко направихме, когато разглеждахме сборовете. Добре, нека видим дали можем да намерим примери, при които c да е рационално число. Ами едно от нещата... можеш да кажеш, че обичам да използвам π, π може би е любимото ми ирационално число. Ако а е равно на 1/π и ако b е равно на π, какво ще бъде произведението им? Произведението им ще бъде 1/π по π, което ще бъде просто π/π, което е равно на 1. Тук получихме ситуация, при която произведението на две ирационални числа е рационално число. Но какво ще стане, ако умножа... като цяло можеш да го направиш с много ирационални числа... 1 върху корен квадратен от 2 по корен квадратен от 2, това ще бъде 1. Какво ще кажем, ако вместо това имах π по π? Можеш да го напишеш просто като π^2, като π^2 ще бъде също ирационално. Това е ирационално. Но не винаги ако повдигнеш на квадрат дадено ирационално число ще получиш ирационално. Например ако имаш корен квадратен от 2 по – мисля, че виждаш накъде отива това – по корен квадратен от 2, това е произведение на две ирационални числа. Всъщност това е едно и също ирационално число. Корен квадратен от 2 по корен квадратен от 2 е просто равно на 2, което очевидно е рационално число. Така че още веднъж, когато имаш произведението на две ирационални числа, не знаеш дали произведението ще бъде рационално или ирационално число, докато някой не ти каже конкретните числа. Независимо дали имаш произведение или сбор от ирационални числа, за да знаеш дали полученото число е ирационално или рационално, трябва да знаеш нещо за числата, от които изчисляваш сбора или произведението.