If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра 1

Курс: Алгебра 1 > Раздел 14

Урок 8: Повече за решаването на квадратни уравнения с допълване до точен квадрат
Математика
Алгебра 1
Квадратни функции и уравнения
Повече за решаването на квадратни уравнения с допълване до точен квадрат
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Решаване на квадратни уравнения чрез допълване до точен квадрат

Класна стая на Google
Например реши x²+6x=-2 чрез преобразуването му в (x+3)²=7 и след това намери корен квадратен.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Досега решава квадратни уравнения или чрез намирането на квадратния им корен, или чрез разлагане. Тези методи са прости и ефективни, когато са приложими. За съжаление те не винаги са приложими.
В този урок ще научиш един метод за решаване на всякакви видове квадратни уравнения.

Решаване на квадратни уравнения чрез допълване до точен квадрат

Да разгледаме уравнението x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. Методът с намиране на квадратния корен и методите на разлагане не са приложими тук.
Но надеждата не е изгубена! Можем да използваме метода, наречен "допълване до точен квадрат". Нека започнем да решаваме и след това да го разгледаме по-подробно.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=7Прибави 9, за да допълниш до точен квадрат.(3)(x+3)2=7Разложи израза от лявата страна.(4)(x+3)2=±7Намери корен квадратен.(5)x+3=±7(6)x=±7−3Извади 3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{Прибави 9, за да допълниш до точен квадрат.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Разложи израза от лявата страна.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Намери корен квадратен.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{Извади 3.}\end{aligned}
В заключение решенията са x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 и x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.

Какво стана тук?

Като прибавихме 9 към x, squared, plus, 6, x в реда start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, за щастие допълнихме израза до точен квадрат, който може да бъде разложен като left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared. Това ни позволява да решим уравнението чрез намиране на квадратния корен.
Това не беше съвпадение, разбира се. Числото 9 беше внимателно избрано, за да може полученият израз да е точен квадрат.

Как да допълним до точен квадрат

За да разберем как е избрано 9, трябва да си зададем следния въпрос: Ако x, squared, plus, 6, x е началото на израз, който е точен квадрат, какъв трябва да бъде константният член?
Нека приемем, че изразът може да бъде разложен като точния квадрат left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, където стойността на променливата a е все още неизвестна. Този израз се развива като x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, което ни показва две неща:
  1. Коефициентът x, за който знаем, че е 6, трябва да бъде равен на 2, a. Това означава, че a, equals, 3.
  2. Константното число, което трябва да прибавим, е равно на a, squared, което е 3, squared, equals, 9.
Опитай се да направиш самостоятелно няколко допълвания до точен квадрат.
Задача 1
Какъв е липсващият константен член в точния квадрат, който започва с x, squared, plus, 10, x ?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 2
Какъв е липсващият постоянен член в точния квадрат, който започва с x, squared, minus, 2, x ?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 3
Какъв е липсващият константен член в точния квадрат, който започва с x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x ?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5

Задача с повишена трудност
Какъв е липсващият константен член в точния квадрат, който започва с x, squared, plus, b, dot, x?
Избери един отговор:

Тази трудна задача ни дава един кратък начин за допълване до точен квадрат (за тези, които обичат кратките начини и нямат нищо против да ги запомнят наизуст). Тя ни показва, че за да допълним x, squared, plus, b, x до точен квадрат, където b може да е всяко число, трябва да прибавим left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared към него.
Например за да допълним x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x до точен квадрат, прибавяме left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 към него.

Решаване на уравненията още веднъж

Добре! Щом вече си майстор в допълването до точен квадрат, нека се върнем обратно към решаването на уравнения, като използваме нашия метод.
Нека разгледаме един нов пример, уравнението x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=13Прибави 25, за да допълниш до точен квадрат.(3)(x−5)2=13Разложи израза от лявата страна.(4)(x−5)2=±13Намери корен квадратен.(5)x−5=±13(6)x=±13+5Прибави 5.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{Прибави 25, за да допълниш до точен квадрат.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Разложи израза от лявата страна.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Намери корен квадратен.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{Прибави 5.}\end{aligned}
За да допълним първоначалния израз от лявата страна x, squared, minus, 10, x до точен квадрат, прибавяме 25 в ред start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd. И както винаги при уравненията, правим същото за дясната страна, което я кара да се увеличи от minus, 12 до 13.
По принцип изборът на числото, което трябва да прибавим, за да допълним до точен квадрат, не зависи от дясната страна, но винаги трябва да прибавяме това число и от двете страни.
Сега е твой ред да решиш няколко уравнения.
Задача 4
Реши x, squared, minus, 8, x, equals, 5.
Избери един отговор:

Задача 5
Реши x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.
Избери един отговор:

Подреждане на уравнението преди допълването до точен квадрат

Правило 1: Разделяне на променливите членове от постоянните членове

Ето как се решава уравнението x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1Извади x.(3)x2+4x=7Прибави 6.(4)x2+4x+4=11Прибави 4, за да допълниш до точен квадрат.(5)(x+2)2=11Разложи.(6)(x+2)2=±11Намери корен квадратен.(7)x+2=±11(8)x=±11−2Извади 2.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{Извади }x.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{Прибави 6.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{Прибави 4, за да допълниш до точен квадрат.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Разложи.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Намери корен квадратен.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{Извади 2.}\end{aligned}
Допълването до точен квадрат в една от страните на уравнението не ни е от полза, ако имаме член x от другата страна. Ето защо изваждаме x от реда start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995, като поставяме всичките променливи членове от лявата страна.
Освен това, за да допълним x, squared, plus, 4, x до точен квадрат, трябва да прибавим 4 към него, но преди да го направим, трябва да сме сигурни, че всичките постоянни членове са от другата страна на уравнението. Затова прибавихме 6 в реда start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, като оставихме само x, squared, plus, 4, x от едната страна.

Правило 2: Увери се, че коефициентът пред x, squared е равен на 1.

Ето как се решава уравнението 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−14Раздели на 3.(3)x2−12x+36=22Прибави 36, за да допълниш до точен квадрат.(4)(x−6)2=22Разложи.(5)(x−6)2=±22Намери корен квадратен.(6)x−6=±22(7)x=±22+6Прибави 6.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{Раздели на 3.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{Прибави 36, за да допълниш до точен квадрат.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Разложи.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Намери корен квадратен.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{Прибави 6.}\end{aligned}
Методът за допълване до точен квадрат действа само ако коефициентът пред x, squared е 1.
Ето защо в ред start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c разделихме на коефициента пред x, squared, който е 3.
Понякога деленето на коефициента пред x, squared ще превърне други коефициенти в дроби. Това не означава, че си направил нещо грешно, а само че ще си имаш работа с дроби, за да го решиш.
Сега е твой ред да решиш едно уравнение като това.
Задача 6
Реши 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0.
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.