Намиране върха на парабола, когато квадратната функция е зададена в общ вид

Имам едно уравнение тук. То е уравнение от втора степен. Квадратно уравнение е. И знам, че неговата графика ще бъде парабола. Само като преговор, това означава, че тя изглежда по подобен начин, или прилича на нещо като това. Тъй като коефициентът на члена х^2 тук е положителен, знам, че това е парабола, отворена нагоре. Любопитен съм за върха на тази парабола. Ако имам парабола, отворена нагоре, върхът е минималната точка. Ако имам парабола, отворена надолу, тогава върхът е максималната точка. Така че аз всъщност се опитвам да намеря стойността х. Не знам в действителност къде графиката пресича оста х или дали изобщо го прави. Но искам да намеря стойността х, при която тази функция има минимална стойност. Има много начини да намерим върха. Вероятно най-лесният – има формула за него. Ние говорихме как се получава тази формула в много клипове, как се намира върхът на параболата или координатата х на върха на параболата. Координатата х на върха е просто равна на –b/2a. '–b' е просто коефициентът, или 'b', е коефициентът на члена на първа степен, коефициентът на члена 'х'. А 'a' е коефициентът на члена х^2. Така че това е равно на 'b' и е –20. Това е –20 върху 2 по 5. Това е равно на плюс 20 върху 10, което е равно на 2. И за да намерим координатата у на върха, просто заместваме обратно в уравнението. у стойността ще бъде 5 по 2 на квадрат, минус 20 по 2, плюс 15, което е равно на... да видим... Това е 5 по 4, което е 20, минус 40, което е –20, плюс 15, е –5. Ето така можем да намерим координатата. Тази координата тук е точката (2; –5). Но не е достатъчно просто механично да използваме дадена формула по този начин. Ще видиш от къде идва това, когато погледнеш формулата за намиране на решения на квадратно уравнение. Това е първият член. Това е стойността х, която е средно аритметично на корените. Това е единият начин да мислим за нея. Но друг начин да го направим и вероятно това ще ти бъде от помощ през живота, защото може да забравиш тази формула... Той е просто да се опиташ да преработиш отново това уравнение, така че да може да забележиш неговата минимална точка. И ние ще направим това чрез допълване на квадрата. Нека напиша това отново. И така, имаме у е равно на... Това, което ще направя, е от тези два първи члена, ще изнеса 5, защото искам да допълня квадрата тук и ще оставя това 15 отдясно, защото ще преработя това също. И така, това е 5 по х^2 минус 4х. И след това имам това 15 тук отвън. Искам да напиша това като точен квадрат. И просто трябва да си спомним, че ако имам (х + а)^2, това е х^2 + 2ax + a^2. Ако искам да превърна нещо, което изглежда така, в пълен квадрат, просто трябва да взема половината от този коефициент, да го повдигна на квадрат и да го прибавя тук, за да го направя да изглежда по този начин. Ще направя това тук. Ако взема половината от –4, това е –2. Ако го повдигна на квадрат, ще бъде плюс 4. Трябва да бъда много внимателен тук. Не мога просто да прибавя плюс 4 тук. Имам равенство тук. Ако те бяха равни преди да прибавим 4, тогава няма да са равни след като прибавим 4. Така че трябва да го изчисля точно тук. Или трябва да прибавя 4 от двете страни, или трябва да внимавам. Трябва да добавя една и съща сума от двете страни или да извадя отново същата сума. Причината, поради която внимавах там е, че аз не просто добавих 4 от дясната страна на уравнението. Не забравяй, че 4 е умножено по 5. Аз прибавих 20 от дясната страна на уравнението. Така че, ако искам да запазя този баланс, ако искам уравнението все още да бъде вярно, или трябва сега да прибавя 20 към у, или трябва да извадя 20 от дясната страна. Така че, ще направя това. Ще извадя 20 от дясната страна. Прибавих 5 по 4. Ако умножиш по това, ще го видиш. Тук мога буквално да кажа, хей, прибавям 20 и изваждам 20. Това е точно същото нещо, което направих тук. Ако умножа по 5, това става 5х^2 – 20х плюс 20, плюс 15, минус 20. Точно което е тук. Целият смисъл на това е, че сега мога да го напиша по интересен начин. Мога да напиша това като: у = 5(х – 2)^2. И след това 15 минус 20 е –5. Така че целият смисъл на това е, че сега мога да разгледам внимателно това. Къде това уравнение достига минимална стойност? Знаем, че този член тук винаги ще бъде неотрицателен. Винаги ще бъде положителен. Или можем да кажем, че той винаги ще бъде по-голям от или равен на 0. Цялото това нещо ще достигне минималната стойност, когато този член е равен на 0 или когато х = 2. Когато х = 2, ние ще достигнем минимална стойност. А когато х е равно на 2, какво се случва? Целият този член е 0, а у = –5. Върхът е (2; –5).