Основно съдържание
Алгебра 1
Курс: Алгебра 1 > Раздел 14
Урок 9: Стратегии за решаване на квадратни уравненияСтратегии за решаване на квадратни уравнения
Въз основа на първоначалния вид на квадратното уравнение можем да определим кои са най-подходящите методи за решаването му. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В това видео ще разгледаме някои трудности, които може да се появят, когато решаваме квадратно уравнение
като даденото тук. Защо това уравнение е квадратно? Уравнението е квадратно, защото съдържа член
от втора степен ето тук, а е уравнение, защото
има нещо от двете страни на знака за равенство. Едната стратегия за решаване,
която хората биха опитали, е когато имаме нещо
на квадрат, да коренуваме двете страни
на уравнението. Ако направиш това,
ще получиш корен квадратен от х на квадрат,
плюс 4 по х, плюс 3, равно на корен квадратен
от минус 1. Тук веднага виждаме
няколко проблема. Дори тук да нямаме минус 1, това е най-очевидният проблем, но дори тук да имаме
положителна стойност, как можем да опростим или как можем да отделим
х от едната страна? Много бързо стигаме
до задънен улица. Така че, неизбежно, коренуването на двете
страни на квадратното уравнение не ни помага с нищо. Тук ще напиша главно Х. Друг начин, който
понякога опитват хората, е да отделят от едната страна
на знака за равенство само х на квадрат. Можеш да се досетиш – само ще го препиша. х на квадрат, плюс 4 по х,
плюс 3, равно на минус 1. Тук можем да опитаме
да отделим х на квадрат от едната страна, като извадим 4 по х
от двете страни на уравнението и като извадим 3
от двете страни на уравнението. Какво ще се получи? В лявата страна на уравнението ще остане само х на квадрат, а от дясната страна получаваме минус 4 по х,
минус 4. И сега може да кажеш, че ако коренуваме
двете страни на уравнението, ще получим – ще го напиша. Корен квадратен от
х на квадрат равно – може да напишеш плюс
и минус от едната страна, за да е сигурно, че
не изпускаш отрицателните корени. Минус 4 по х, минус 4. Ще получим нещо подобно, х равно на плюс или минус корен
квадратен от минус 4 по х, минус 4, но това все още не ни помага. Още не знаем стойността на х, и по същество не е ясно как да преобразуваме
това алгебрично. Това отново е
задънена улица. Има някои случаи, в които този метод
ще проработи. Например е приложим, ако нямаме този
член от първа степен. Ако го нямаше този член,
съдържащ х от първа степен. Тогава тази стратегия
щеше да е приложима, стига да съществуват решения. Но понеже имаме член,
съдържащ х ето тук, който няма как да се унищожи, ако например от другата страна
имаше друго 4 по х, тогава щяхме да извадим
4 по х от двете страни и те щяха да изчезнат. Но ние не можем
да се отървем от тези членове, така че тази стратегия,
която описах току-що, не може да даде резултат. Друга стратегия, която
някои хора биха използвали, особено когато видят
нещо подобно – ще препиша това. х на квадрат плюс 4 по х,
плюс 3, равно на минус 1. Някои хора веднага
биха започнали да разлагат. Те казват: "Мисля, че мога
да разложа това. Ще намеря две числа,
чийто сбор е равен на 4, а произведението им е 3. Може би това са 3 и 1. После разлагат лявата
страна на уравнението, получава се (х + 3)
по (х + 1), после равно на минус 1. И тук те или ще допуснат грешка, макар че това е
вярно от алгебрична гледна точка. Но тук те или ще направят грешка, или ще стигнат отново
до задънена улица. Защото само фактът, че
нещо по нещо е равно на минус 1 изобщо не е достатъчен
за решението. Не е ясно как да намерим
стойността на х. Друго нещо, което
можем да опитаме, е веднага да кажем, че тогава х е равно
на минус 3, или х е равно на минус 1, защото минус 3 ще направи
първия член равен на нула, а минус 1 би направило
втория член равен на нула. Но си спомни, че това
е вярно само когато умножаваме
два члена и получаваме нула
като произведение. Тогава решенията ще бъдат всяка стойност на х, за която
единият или двата члена стават нула. Но тук случаят не е такъв. Тук произведението им
е равно на минус 1. За да разложим по този начин и да постигнем резултат
в повечето случаи, трябва да имаме равно на нула от дясната страна на
уравнението. Това е вярно също така, ако използваме формулата за намиране
на корените на квадратно уравнение. Много хора биха казали, когато видят квадратно уравнение: "Просто ще приложа формулата
за корените на квадратното уравнение. Щом уравнението е във вида а по х на квадрат, плюс
b по х, плюс с, равно на нула, тогава съгласно формулата за
корените на квадратно уравнение корените са равни на х равно на минус b плюс или минус корен квадратен
от b на квадрат, минус 4 по а, по с, цялото това върху 2 по а. Тогава те веднага ще кажат, че тук разпознават а, което е равно на 1, тук по подразбиране
има коефициент едно, b е равно на 4, с е равно на 3. Тогава ще кажат, че
х е равно на минус 4, плюс или минус корен
квадратен от b на квадрат, което е 16, минус
4 по 1, т.е. по 3, всичко това върху 2 по 1. Но тук има проблем. Тази формула за корените
на квадратно уравнение се използва, когато лявата страна е равна на нула. А тук случаят не е такъв. Така че стигаме до същата
задънена улица. Всичко, което току-що
направих, не върши работа. Начинът, по който
трябва да подходим, е ако искаме тук
да получим нула, трябва да добавим 1
към дясната страна на уравнението, и за да запазим
равенството, трябва да добавим 1
и към лявата страна на уравнението. Така ще получим х на квадрат, плюс 4 по х,
плюс 4, равно на 0. Сега вече можем да използваме
формулата за корените на квадратно уравнение или можем да разложим
този израз. Можем да видим, че
2 плюс 2 дава 4. 2 по 2 дава 4. Следователно (х + 2) по (х + 2) е равно на нула. В този случай х може да е равно на минус 2, или х може да е равно
на минус 2. Значи имаме само
едно решение, х е равно на минус 2. Важното тук е да разпознаем, че отдясно трябва да е нула, ако искаме да използваме формулата
за корените на квадратно уравнение или ако искаме да разложим
израза на множители.