Явни формули на аритметични прогресии

От таблицата тук виждаме, че за дадени стойности на n, когато n е 1, f от n е 12, когато n е 2, f от n е 5, а когато n е 3, f от n е минус 2, когато n е 4, f от n е минус 9. Един от начините да разглеждаме това е, че тази функция f определя дадена редица, при която първият член от редицата е 12. Вторият член от тази редица е 5. Третият член от редицата е минус 2. Четвъртият член от редицата е минус 9. Като тя продължава нататък. И може би забелязваш, че това е аритметична прогресия. Започваме с 12 и после следващият член... Какво направихме, за да го получим? Извадили сме 7. Сега, за да получим от втория третия член... Какво правим? Изваждаме 7. Всеки член е по-малък със 7 от предходния. Като имаш това предвид, виж дали можеш да определиш тази функция от n. Дали можеш да я определиш чрез явна формула. Намери определението за функция. Трябва да намериш на колко е равно f от n, така че ако въведеш тук n, да ти даде съответната f от n. Нека помислим малко. Можем да го получим, като започнем от... Първият член ще бъде 12. След това ще извадим 7. Колко пъти ще извадим 7? За първия член изваждаме 7 нула пъти. И по този начин получаваме само 12. За втория член изваждаме 7 веднъж. За третия член изваждаме 7 два пъти. Един, два пъти. За четвъртия член изваждаме 7 три пъти. Изглежда, че независимо при кой член сме, изваждаме 7 n минус 1 пъти, изваждаме 7 толкова пъти, колкото е номера на члена минус 1. Така че това е по n минус 1. Нека проверим дали това е наистина така. И така, f от 1 ще бъде 12 минус 7, по 1 минус 1, това е 0. Цялото това ще бъде просто 12. f от 2 ще бъде 12 минус 7 по 2 минус 1. Ще имаме 12 минус 7 по 1. Ще извадим 7 само веднъж, което е точно така. Започнахме от 12 и извадихме 7 веднъж. f от 3, можеш да продължиш да проверяваш. 12 минус, тук трябва да извадим 7 два пъти. Виждаме, че 3 минус 1 е 2 пъти. Така че ще извадим 7 два пъти. Така че това изглежда правилно. Зададохме функцията явно. Определихме f явно за тази аритметична прогресия. Нека решим още един пример. В този случай тук вече имаме някои определения за функцията. Имаш редицата, тя се вижда в тази таблица. Можеш да я разглеждаш така, че първият член е минус 100. Следващият член е минус 50, следващият член е 0, следващият член е 50. Напълно е ясно, че това е също аритметична прогресия. Започваме от минус 100 и след това прибавяме 50. После прибавяме още 50, и после прибавяме още веднъж 50. Така че всеки член е с 50 повече от предходния. Сега спри видеото на пауза и помисли кои от тези определения за функцията f са верни. Като може да има повече от едно вярно. Добре, нека помислим. Това определение тук, един от начините да го разглеждаме, е като кажа, че започвам от минус 100. И ще прибавя 50, n минус 1 пъти. Това има ли смисъл? За първия член, ако започнем от минус 100, изобщо няма да прибавяме 50, ще прибавим 50 нула пъти и това е така. Защото 1 минус 1 ще бъде 0. Така че това е вярно за n равно на 1. Да видим, за n равно на 2 започваме от минус 100, трябва да прибавим 50 веднъж. това тук ще бъде 1, защото 2 минус 1 е 1! Прибавяме 50. Независимо какъв номер имаме, независимо колко е n, ние прибавяме 50 толкова пъти, колкото е номера на члена минус 1. И така, тук прибавяме 50 два пъти. Когато n е 4, прибавяме 50 три пъти. Така че това е вярно. Когато n е 4, прибавяме 50 4 минус 1, три пъти. Минус 100 плюс 50 по 3. Прибавяме 50 три пъти, прибавяме 50 1, 2, 3 пъти. Ами това ни дава 50. Така че избирам този отговор. Сега нека разгледаме този тук. Минус 150 плюс 50n. Добре, това е един от начините да кажем, ако n равно на 1, ще имаме минус... Всъщност нека начертая таблица за този отговор. Ако имаме n и имаме f от n. Това ще бъде за това определение тук. Ако n е 1, ще имаме минус 150 плюс 50. Което е минус 100, да, и това отговаря. Когато n е 2, получаваме минус 150 плюс 50 по 2, което ще бъде... Това е 100 и има минус 150, това ще бъде минус 50. Когато n е 3, и това отговаря разбира се. Когато n е 3, получаваш минус 150 плюс 50 по 3, което е равно на 0. Това отговаря. Този отговор тук ще бъде верен. Но можеш да кажеш: "Хей, тези формули изглеждат различни." Можеш алгебрично да ги преработиш и да видиш, че те са едно и също нещо. Ако вземеш тази първата, имаме минус 100 плюс, нека разкрием скобите и умножим по 50, плюс 50n минус 50. Добре, минус 100, минус 50, това е минус 150. И след това имаш плюс 50n. Така че тези двете са алгебрично едно и също определение за функцията. Сега, какво ще кажем за това тук? Минус 100 плюс 50n, това ще стане ли? Да видим, когато n е равно на 1, това ще бъде минус 100 плюс 50, което е минус 50. Ами не, това не отговаря. Тук трябва да получим минус 100. Така че това не е вярно.