Текстови задачи с прогресии

Мохамед решава да записва броя на листата на дървото в задния му двор всяка година. Първата година то имало 500 листа. Всяка година след това броят на листата бил с 40% повече от предишната. Нека n е положително цяло число и нека f от n обозначава броя на листата на дървото в задния двор на Мохамед през n-тата година след като е започнал да ги проследява. Изразът f от n определя редица. Какъв вид редица е f от n? И така, някои от вас може да се сетят веднага. Всяка следваща година броят нараства с 40%, което е същото като умножаването по 1,4. Всеки следващ период умножаваме или делим на едно и също число. Това ще бъде геометрична прогресия. Нека го изясним малко повече, просто за всеки случай. Нека направим тук една малка таблица. Това е n, а това е f от n. Когато n е равно на 1, първата година n е равно на 1, е имало 500 листа, или f от n е 500. Когато n е равно на 2, ще имаме нарастване с 40%, което е същото като умножаването по 1,4. 500 по 1,4, като 40% от 500 е 200, броят ще нарасне с 200, следователно ще имаме 700. През третата година ще увеличим с 40% от 700, което е 280, така че ще имаме 980 листа. Забележи, че това определено не е аритметична прогресия. При една аритметична прогресия прибавяме или изваждаме едно и също количество всеки път, но сега не го правим. Тук от 500 до 700 имаме нарастване с 200, а след това от 700 до 980 имаме нарастване с 280. Умножаваме или разделяме на една и съща величина всеки път. В този случай умножаваме по 1,4 всеки път. Следователно определено имаме геометрична прогресия. В зависимост от отговора ти на въпроса по-горе, рекурентно зададеното определение за редицата може да има една от следните две форми. Добре това е аритметичната форма, която знаем, че нямаме в този случай, така че ще имаме геометричната форма. И след това се пита, какви са стойностите на параметрите А и В за редицата? И така, тук имаме базовия случай, f от n е равно на А, когато n е равно на 1. Знаем, че когато n е равно на 1, сме имали 500 листа на дървото, така че това А тук е 500. А е 500. След това, ако не сме при базовия случай, за всяка следваща година имаме, да видим, имаме предходната година, умножена по какво? Ще имаме предходната година, нараснала с 40%. За да нарасне с 40%, умножаваш по 1,4, така че B ще бъде 1,4. Вземаш предходната година и умножаваш по 1,4 за всяка следваща година, за всяка година, различна от n равно на 1. И така, В е равно на 1,4 и сме готови. Нека решим още един пример. Това е странно забавно. Добре, тук се казва: Сио-Юн организира парти. Тя има 50 парти подаръка, които да раздаде и дава по 3 подаръка на всеки от гостите в момента на пристигането им. Нека n е положително цяло число и нека g от n обозначава броя на парти подаръците, които Сио-Юн има преди да пристигне n-тият гост. Добре, всъщност преди дори да разгледаме тези въпроси, нека начертаем тук една таблица, защото се казва преди n-тия гост. Искам да се уверя, че го разбирам правилно. И така, това е n и после това ще бъде g от n, ето тук. Когато n е равно на 1, g от n е, или g от 1 е броят на парти подаръците, които Сио-Юн е имала преди първия гост. Добре, преди първия гост тя е имала 50 парти подаръка. Тя е имала 50 подаръка за партито. Сега, идва вторият гост. Броят на подаръците, които тя има преди втория гост, тя е трябвало да даде 3 на първия, така че сега ще има 47 подаръка. Когато n е равно на 3, колко подаръка за партито има тя преди третия гост? Трябвало е да даде подаръци на първия и втория гост, като всеки от тях е получил по 3. Така че сега ще има 44 и аз мисля, че забелязваш закономерността. Когато n е равно на 1, g от n е 50 и всеки път увеличаваме n с 1. Всеки път когато увеличаваме n, увеличаваме g от n с плюс 3, трябваше да кажа с минус 3, защото тя раздава подаръци на партито, така че минус 3. Тъй като разликата между последователните членове е една и съща, знаем, че това е аритметична прогресия. Това е аритметична прогресия и трябва да напишем формулата за явно задаване на редицата. Нека помислим върху това. Да кажем, че g от n ще бъде равно на... Да видим, ще започнем от 50, след това изваждаме 3 и нека помислим, дали изваждаме 3 по n или дали...? Да видим, за първия гост извадихме 3 нула пъти. За втория гост изваждаме 3 веднъж. За третия гост изваждаме 3 два пъти. За n-тия гост ще извадим 3 n минус 1 пъти. Забележи, за 3-тия гост извадихме 3 два пъти. Вторият гост - извадихме 3 веднъж. Първият гост - извадихме 3 нула пъти, така че това е така. За първия гост ще извадим 3 нула пъти и така g от 1 ще бъде 50. Можем да видим, че това е последователно за всичките тези. Така че мога да напиша 50 минус 3 по n минус 1, като наистина препоръчвам правенето на таблицата, просто за да си сигурен, че получаваш n минус 1 или n правилно и че всичко е така.