If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Логиката при решаването на линейни уравнения

Когато преобразуваме уравнения чрез различни математически действия, някои от тях ни дават еквивалентни уравнения, докато при други това не е задължително. Когато решаваме едно уравнение, трябва да използваме такива алгебрични действия, които гарантират еквивалентност. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В много други видео клипове сме разглеждали подобни уравнения, за да намерим стойността на х. В това видео ще разгледаме по-задълбочено това, което се случва, като също така ще разгледаме понятието еквивалентност или еквивалентни изрази. Ще го запиша – еквивалентност. Какво означава еквивалентност? Ще използвам това уравнение ето тук, което ще преработя в различни еквивалентни форми, и ще обясня по-разширено какво означава това. Това, което мога да направя, е по същество да запиша еквивалентен израз, като разкрия скобите и умножа това 3 по (х + 1), а после тази част ето тук може да се представи като 3х плюс 3, а после имаме минус х равно на девет. Това, което ще кажа сега, вероятно е донякъде очевидно за теб – това уравнение тук горе и второто уравнение са еквивалентни. Какво означава това? Това означава, че ако едното от тях е изпълнено за дадена стойност на х, другото уравнение също ще е изпълнено за същата стойност на х, и обратно, като можем да запишем и други еквивалентни изрази. Например, ако обединим членовете, съдържащи х, ако разгледаме 3 по х и после минус х, това ни дава 2 по х, след което имаме плюс 3, равно на 9. Тези три равенства са еквивалентни. Ако съществува стойност на х, за която 2 по това х плюс 3 е равно на 9, тогава 3 по (х + 1) минус х е равно на 9 и обратното. Ако съществува стойност на х, за която горното уравнение е вярно, тогава и последното уравнение е вярно. Можем да извършваме и други операции, които запазват еквивалентността, което вече си виждал/а. Можем да извадим 3 от двете страни на равенството. По принцип, ако добавяме или изваждаме една и съща стойност от двете страни, тогава еквивалентността се запазва. Ако разкрием скобите, както направихме тук в първата стъпка, тогава еквивалентността се запазва. Ако комбинираме еднаквите членове, това е операция, която запазва еквивалентността, така че тук извършваме операция, която запазва еквивалентността. Изваждаме 3 от двете страни на уравнението, получаваме 2 по х равно на 6. Повтарям: всяко х, за което е вярно последното уравнение, удовлетворява и всяка друга версия на уравнението и обратно. Всяко х, което удовлетворява някое от другите уравнения тук, удовлетворява и последното уравнение, така че всички тези уравнения са еквивалентни помежду си. Друга операция, която запазва еквивалентността, е да умножим или да разделим двете страни по константа, различна от нула. Тук можем да разделим двете страни на 2, което е константа, различна от нула, и ако направим това, ще получим друго еквивалентно твърдение, х равно на 3. Всяко х, което удовлетворява равенството х = 3, ще удовлетворява и другите, а всяко х, което удовлетворява някое от другите равенства, ще удовлетворява и последното, така че всички тези равенства са еквивалентни. Един начин да разглеждаме това е, че като добавим някакво число към двете страни на уравнението, това е операция, която запазва еквивалентността. Умножението или делението на двете страни на равенството по константа, различна от нула, запазва еквивалентността. Разкриването на скобите, както в първата стъпка, запазва еквивалентността, събирането на подобните членове също запазва еквивалентността. Сега вероятно ще попиташ кои операции не запазват еквивалентността. Представи си следното: ще започна с нещо напълно очевидно. Ако х е равно на 2, операция, която не запазва еквивавелността, е ако добавим, извадим, умножим или разделим само едната страна на равенството на някаква стойност, да кажем, че прибавим едно само към лявата страна на равенството. Ще получим (х + 1) равно на 2, и в този случай никоя стойност, която удовлетворява второто уравнение, няма да удовлетворява горното уравнение или обратното. х = 2 очевидно удовлетворява горното уравнение, но не удовлетворява това второто уравнение, защото извършихме операция, която не запазва еквивалентността. По същия начин, ако умножим само дясната страна по три, получаваме х равно на 6. Когато умножаваме само дясната страна по някаква стойност, тогава не всяка величина, за която е в сила х = 6, ще удовлетворява х = 2, което е съвсем очевидно. Има и някои малко по-сложни случаи – да кажем, че имаме пет по х равно на 6 по х. Изкушаваме се да извършим еднаква операция от двете страни на равенството, например да разделим двете страни на равенството на х, и тогава какво ще получим? Ако разделим двете страни на равенството на х, вероятно очакваш да получиш еквивалентно твърдение, но получаваш 5 равно на 6, за което знаем, че не съществува такова х, за което 5 да е равно на 6. Никога 5 не може да е равно на 6 или обратното, така че ще трябва да приемеш, че няма х, което да удовлетворява това равенство. Ако приемеш, че това са две еквивалентни твърдения, ще кажеш, че никоя стойност на х не удовлетворява 5 = 6, следователно никоя стойност на х не удовлетворява и горното уравнение. Но всъщност това не е операция, която запазва еквивалентността, защото тук може да имаме случай, в който х е равно на 0 и тогава делим на 0. Затова трябва много да внимаваш, когато делиш на променлива, особено ако променливата, за която това равенство е вярно, е равна на нула. За да сме сигурни, че тук се запазва еквивалентността, един от начините да се справим с този случай е да извадим 5х от двете страни на знака за равенство. Тази операция запазва еквивалентносттта, можем да извадим всеки израз от двете страни, или всеки член от двете страни, и тогава получаваме нула е равно на х. Когато 0 = х, тогава 5 по х е равно на 6 по х, това са еквивалентни равенства. За всяка стойност, за която едното равенство е вярно, ще бъде вярно и другото, и ако е вярно второто равенство, то ще е вярно и първото равенство. Едно последно нещо, което може би чу да казвам – можем да умножаваш и да делиш на величини, различни от нула, и тези операции запазват еквивалентността. Надявам се, че се убеди, че да делим на нула не е добра идея. Делението на нула е странно нещо, то не е дефинирано, както и умножението по нула. Например, ако имаме – всъщност ще пиша ето тук. Ако имаме 2х равно на 6, и ако умножим двете страни по 0, тогава ще получим нула равно на нула. Нула равно на нула е вярно за всяка стойност на х. Нула винаги е равно на нула, но проблемът е, че първото равенство не е вярно за всички стойности на х, а само за х = 3. Така че това не са две еквивалентни твърдения. Има различни множества на х, които удовлетворяват двете равенства, така че трябва много да внимаваш, когато величините са нули, можем да събираш и да изваждаш нула, очевидно това не променя много нещата, но когато умножаваш двете страни по нула, може да получиш резултати, които не са еквивалентни твърдения, а когато умножаваш или делиш на величини, които могат да са равни на нула, например променливи, това е една много "опасна игра".