If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Логиката при решаването на системи линейни уравнения

Когато извършваме различни математически действия със системи от уравнения, някои от тези действия дават еквивалентни системи, докато при други това не винаги е така. Когато решаваме една система от уравнения, трябва да използваме такива алгебрични действия, които гарантират еквивалентност. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В предишното видео разглеждахме темата за еквивалентни равенства. Еквивалентност означава просто, че има различни начини да представим дадено равенство в алгебрата. Мога да дам няколко прости примери. Мога да кажа, че 2 по х е равно на 10, или мога да кажа, че х е равно на 5. Това са еквивалентни равенства. Защо са еквивалентни? Защото х удовлетворява едното равенство тогава и само тогава, когато удовлетворява и другото. Можеш да провериш, че и в двата случая х равно на 5 удовлетворява и двете равенства. Друг пример за еквивалентни равенства например е 2 по х равно на 8 и х равно на 4. Това са две еквивалентни равенства. х удовлетворява едното равенство тогава и само тогава, когато удовлетворява и другото. В това видео ще задълбочим нашите знания за еквивалентността, като разгледаме еквивалентни системи от уравнения. Всъщност досега, когато си решавал/а системи от уравнения, си извършвал/а действия въз основа на допускането за еквивалентност, но просто вероятно не си го разглеждал/а по този начин. Да разгледаме една система от уравнения. Нека тази система да включва някаква двойка променливи х и у, като едното уравнение е 2 по х плюс у равно на 8, а другото е х плюс у равно на 5. Можем да имаме еквивалентна система от уравнения, ако заместим някое от тези уравнения с еквивалентно на него уравнение. Например, когато опитваш да решиш тази система, може да кажеш, че ако тук имаме минус 2 по х, евентуално можем да съберем левите страни. Ще разгледаме защо това действие запазва еквивалентността. За да получим пред х коефициент минус 2, трябва да умножим цялото уравнение по минус две. Ако умножим двете страни на уравнението по минус две, се получава минус две по х, минус две по у, равно на минус 10. Това уравнение и това уравнение са еквивалентни. Защо? Защото всяка двойка (х; у), която удовлетворява едното уравнение, ще удовлетворява и другото уравнение, или всяка двойка (х; у) удовлетворява едното уравнение тогава и само тогава, когато удовлетворява и другото. И ако разгледаме системата от уравнения, тази система, в която променихме второто уравнение, а първото уравнение остана непроменено, тази система от уравнения е еквивалентна на първата система от уравнения. Всяка двойка (х; у) – ако една двойка (х; у) удовлетворява една от тези системи от уравнения, то тя ще удовлетворява и другата система и обратно. Следващото интересно нещо, което може би осъзнаваш, е, че ако просто искаш да решиш тази система, но това не е встъпително видео за решаване на системи от уравнения, предполагам, че ти вече имаш опит в това – вероятно тук виждаш, че може да решиш системата чрез събиране, като си казваш, че може би като събереш тези уравнения, лявата страна с лявата страна и дясната страна с дясната страна, тогава тези членове с х ще се унищожат и ще ти останат само членовете, съдържащи у. Правили сме вече това. Един вид искаш да намериш у. Но в това видео искам да помислим защо получаваме еквивалентна система от уравнения, ако направим това. Един начин да разсъждаваме е следният: за да получим еквивалентна система от уравнения на тази, ще запазим първото уравнение, 2 по х плюс у равно на 8. Но после ще вземем второто уравнение и ще добавим едно и също към двете страни. Знаем, че когато прибавим или извадим едно и също нещо към двете страни на едно уравнение, получаваме еквивалентно уравнение. Така че ще направя това. Но това ще е нещо малко по-интересно. Ако имаме минус 2 по х минус 2 по у равно на минус 10, сега аз искам да добавя 8 към двете страни. Ще го направя по следния начин. Ще добавя 8 към двете страни. Спомни си, че нашата система от уравнения казва, че тези две твърдения са верни, че 2 по х плюс у е равно на 8 и –2 по х минус 2 по у е равно на минус 10. Така че вместо да добавим направо 8 към двете страни, можем да добавим нещо, което е еквивалентно на 8 към двете страни на равенството. И аз знам нещо, което е еквивалентно на 8 от това първото уравнение. Мога да добавя 8 отдясно и да добавя 8 отляво или мога да добавя 2 по х плюс у. Значи 2 по х плюс у. Сега ти препоръчвам да поставиш видеото на пауза и да се запиташ: "Как мога да направя това? Защо Сал предлага да добавя едно и също нещо към двете страни?" Защото, спомни си, когато имаме система от уравнения, ние приемаме, че и двете уравнения са верни. Една двойка (х; у) удовлетворява едното уравнение тогава и само тогава, когато тя удовлетворява и другото уравнение. Тук знаем, че две по х плюс у трябва да е равно на 8. Ако добавим две по х плюс у към лявата страна, и ако добавим 8 към дясната страна на уравнението, по същество прибавяме осем към двете страни на уравнението, при което се получава еквивалентно уравнение на първото. Когато направим това, това минус 2 по х и това 2 по х се унищожават, получаваме минус у равно на минус 2. Така можем да преобразуваме второто уравнение като минус у равно на минус 2. Знам какво си мислиш. Сигурно си казваш: "Чакай, аз съм свикнал/а да решавам системи от уравнения. Свикнал/а съм просто да събера тези две уравнения и после получавам само едно уравнение." Това не е особено изчерпателно математически, защото другото уравнение си е все още тук. То представлява някакво условие, ограничение. Много често решаваш едното уравнение и се връщаш и заместваш в другото. Но на практика и двете уравнения съществуват през цялото време. Само ги преобразуваш в еквивалентен вид. Пак повтарям, тази система от уравнения, тази система и тази система са еквивалентни. Всяка двойка (х; у), която удовлетворява една от тези системи от уравнения, удовлетворява останалите и обратно. Пак повтарям, ние ще продължим да представяме това по еквивалентни начини. Тук при второто уравнение можем да умножим двете страни по минус едно. При това действие се запазва еквивалентността. Ако направим това, тогава ще получим – ние не сме променили горното уравнение, 2 по х плюс у равно на 8. Ако на второто уравнение умножа двете страни по минус едно, ще получа у равно на 2. Повтарям, тези системи от уравнения са еквивалентни. Знам, че изглежда, че се повтарям. Но сега мога да направя нещо различно, за да запазя еквивалентността, но да получа по-добра представа какво представлява тази двойка (х; у). Щом знаем, че у е равно на 2, и като знаем, че е вярно и за двете уравнения, спомни си, че важи и тук, и тук. Допускаме, че има някаква двойка (х; у), която удовлетворява и двете уравнения. 2 по х плюс у трябва да е равно на 8 и у трябва да е равно на 2. Това означава, че тук горе, където видим у, можем да запишем еквивалентна система, в която вместо да има у, можем да запишем 2, защото знаем, че у е равно на 2. Така че можем да преработим горното уравнение като заместим с у равно на 2. Можем да преработим това като 2 по х плюс 2 равно на 8 и у е равно на 2. Това е тук и ето тук. Това очевидно е тук. И, разбира се, можем да продължим нататък. Ще се преместя малко надолу. Мога да запиша и друга еквивалентна система от уравнения на тази, като извърша операции, които запазват еквивалентността с горното уравнение. Какво ще стане, ако извадя две от двете страни на горното уравнение? Пак ще получа еквивалентно на него уравнение. Мога да преработя това уравнение, като извадя 2 от двете страни, и тогава ще получа 2 по х равно на 6. Тогава второто уравнение няма да се промени. у равно на 2. Значи съществува някаква двойка (х; у), която щом удовлетворява това уравнение, удовлетворява и другото уравнение и обратно. Тази система уравнения е еквивалентна на всяка система от уравнения, която съм написал досега в тази поредица от операции, така да се каже, и тогава, разбира се, това горното уравнение, една операция, запазваща еквивалентността, е да разделим двете страни на някаква стойност, различна от нула. В този случай мога да разделя двете страни на 2. После ще получа – ако разделя горното уравнение на 2, получавам системата х равно на 3, у равно на 2. Повтарям – това е различен начин да разглеждаме тази тема. Аз просто преобразувам същата система от уравнения и получавам еквивалентна система, която ни показва по-ясно каква е тази двойка стойности на х и на у. Досега ти може би просто, разбираш, просто приемаше, че можеш да събереш двете страни на уравненията или да направиш този вид елиминиране, или да направиш някакво заместване, за да намериш стойностите на х и на у. Но по същество ти просто си преобразувал/а системата от уравнения. Преобразуваме ограниченията на системата от уравнения и получаваме еквивалентни системи от уравнения, от които виждаме по-ясно коя двойка стойности за х и за у удовлетворява двете уравнения на тази система.