Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:10:04

Въведение към свойства на логаритмите (2 от 2)

Видео транскрипция

Привет! Сега ще ти покажа последните две свойства на логаритмите. За първото... винаги съм мислел, че това по един или друг начин е най-ясното от всички. Но не се отчайвай, ако не ти е ясно. Може би ще ти е нужно малко да поразсъждаваш. Насърчавам те да експериментираш с всички тези свойства на логаритмите, защото само по този начин ще ги научиш. В математиката главното е не просто да се мине следващия изпит, или да се изкара шестица на изпита. Главното в математиката е да се разбере, за да може в крайна сметка да се прилага по-нататък в живота, без да се налага всеки път всичко да се учи наново. И така, следващото свойство на логаритмите е, ако имаме А пъти логаритъм от С с основа В, ако имаме А пъти по цялото това нещо, тогава това е равно на логаритъм от С на степен А с основа В. Удивително. Нека видим дали това върши работа. Ако имам три пъти по логаритъм от осем при основа две. Това свойство ни казва, че това ще е равно на логаритъм от осем при основа две на трета степен. А това е същото. Това ще е същото като...можем да го изчислим. Нека видим какво е това. Три пъти по логаритъм с основа... колко е логаритъм от осем при основа две? Причината да се поколебая преди малко е, че всеки път, когато искам да намеря нещо, някак вътре в себе си искам да използвам правилата на логаритмите и степените за целта. Така че се опитвам да избягвам това. Както и да е, да се върнем на задачата. Какво става тук? Две на коя степен дава осем? Две на трета степен е осем, нали така? Така че това дава 3. Имаме тази тройка тук, така че това е 3, умножено по 3. И това тук трябва да е равно на 9. Ако е равно на девет, тогава знаем, че това свойство важи поне за този пример. Човек не знае дали е така и при други примери, и затова може би ще искаш да видиш доказателството, което го има в другите клипове. Но това е един вид за напреднали. Важното е първо да се разбере как се използва. Нека видим, колко дава 2 на девета степен? Явно ще е някакво голямо число. Всъщност, знам кое е то – това е ... Миналия път намерихме, че 2 на осма степен е равно на 256. И 2 на девета степен е 512. А ако 8 на трета степен също прави 512, тогава сме го решили вярно, нали? Понеже log от 512 при основа 2 ще е равно на 9. А колко е 8 на трета степен? 8 на квадрат е 64, така че 8 на трета степен е... нека видим. Четири пъти по осем. Така, това е две и три. Шест пъти по осем – изглежда това е 512. Точно така. Има и други начини, по които можеше да го направим. Защото можеше да кажем, че 8 на трета степен е точно равно на 2 на девета степен. Откъде знаем това? 8 на трета степен е равно на 2 на трета степен, това цялото на трета степен, нали? Просто преобразувах 8. И от правилата за степенуване знаем, че 2 на трета степен, цялото на трета степен е същото като 2 на девета степен. И всъщност това е свойство на степените, където можем да умножаваме – когато повдигнем нещо на някаква степен, и повдигнатото го повдигнем на степен, можем само да умножим показателите – това е свойството на степен от степен, което всъщност отвежда към свойствата на логаритмите. Но в тази презентация няма да задълбавам толкова за това. Има цял един клип с по-подробно доказателство. Сега ще ти покажа следващото свойство на логаритмите – и след това ще преговорим всичко и може би ще решим някои примери. Вероятно това е най-полезното свойство на логаритмите, ако си пристрастен/а към калкулатора. Ще ти покажа защо. Да кажем, че имам log от А при основа В, равно на log от А при основа С, разделено на log от В при основа С. Защо това е едно полезно свойство за пристрастените към калкулатора? Да кажем, че отиваш в час и има контролно. Учителят казва, че можете да използвате калкулаторите си, и целта е да се изчисли log от 357 при основа 17. И ти ще се засуетиш, търсейки копчето log с основа 17 на калкулатора си, и не го намираш. Защото на калкулатора няма копче с log и основа 17. Вероятно ще има копче log или копче ln. И за да знаеш, само да ти кажа, че копчето log на калкулатора ти вероятно е с основа 10. А копчето ln на калкулатора ще е с основа е. Ако още не познаваш е, не се притеснявай за него, то е равно на около 2,71. То е число. Това е едно изумително число, но ще говорим за това в някое видео в бъдеще. Та на твоя калкулатор са налице само две основи. И ако искаш да намериш логаритъм с друга основа, ползваш това свойство. И ако на изпит ти дадат това, можеш да кажеш уверено: О, това си е същото като... ще трябва да превключиш на жълт цвят, за да действаш с увереност – log с основа – тя може да е или е, или 10. Можем да кажем, че това е същото като log от 357 при основа десет, разделено на log от 17 при основа 10. Така че може просто да изпишем 357 на калкулатора и да натиснем бутона log и ще получим дрън-дрън-дрън. И тогава, какво – можем да го изчистим, или ако знаем как да използваме кръглите скоби на калкулатора, можем да направим това. Но тогава изписваме 17 на калкулатора, натискаме копчето log, и получаваме дрън-дрън-дрън. След това го разделяме и получаваме нашия отговор. Така че това е едно доста полезно свойство за калкулаторните маниаци. И пак да кажа, че няма да навлизам в големи подробности. Това свойство за мен е най-полезно, но не напълно. Очевидно то не е сред свойствата на степените. Но да опиша по прост начин логиката за това ми е трудно, така че вероятно искаш да видиш доказателството, ако не вярваш защо се случва това. Но както и да е, всичко това вероятно ще използваш през по-голямата част от живота си. Аз все още го използвам в работата си. Просто знай, че логаритмите са полезни. Нека решим няколко примера. Нека само препишем няколко неща в по-проста форма. Ако искам да запиша log с основа две от квадратен корен от... нека помисля нещо. От 32, разделено на куба...не, ще е само квадратния корен. Разделено на квадратен корен от осем. Как мога да препиша това, за да не е разхвърляно? Нека помислим по въпроса. Това е същото, то е равно на... Не знам дали да се придвижа отвесно или хоризонтално. Нека е отвесно. Това е равно на log от 32 при основа 2 върху квадратния корен от 8 на степен 1/2, нали така? И от свойствата на логаритмите знаем, от третото свойство научихме, че това е равно на 1/2, умножено по логаритъм от 32, разделено на квадратен корен от 8, нали така? Взех само показателя и го направих коефициент на цялото това. Научихме това в началото на този клип. И сега тук имаме един малък коефициент, нали? Логаритъм от 32, разделено на логаритъм от квадратен корен от 8. Можем да използваме другия логаритъм – нека игнорираме това 1/2. Това ще е равно на, скоба, логаритъм – о, забравих основата. Логаритъм от 32 при основа 2 минус логаритъм... нали така? Понеже това е в коефициента. Минус логаритъм при основа 2 от квадратен корен от 8. Нали така? Нека видим. Още веднъж тук имаме квадратен корен, така че можем да кажем, че това е равно на 1/2, умножено по log от 32 при основа 2. Минус това 8 на степен 1/2, което е равно на 1/2 log от 8 при основа 2. Научихме това свойство в началото на това видео. И тогава ако искаме, можем да разкрием скобите и да умножим по 1/2. Това е равно на 1/2 log от 32 при основа 2 минус 1/4, защото трябва да умножим по 1/2, минус 1/4 log от 8 при основа 2. Това прави 5/2 минус, това е три. Три пъти, умножено по 1/4 минус 3/4. Или 10/4 минус 3/4 е равно на 7/4. Вероятно съм направил няколко аритметични грешки, но схващаш принципа. До скоро!