Доказателство на правилото за логаритмуване на произведение

Здравей! Нека да отделим малко внимание на свойства на логаритмите. Нека преговорим бързо какво представляват логаритмите. Ако напиша, че log с основа х от а е равно на... знам ли, на дадена буква, n. Какво означава това? Това означава просто факта, че х на степен n дава а. Мисля, че вече ти е известно. Научихме го в клипа за логаритмите. Много важно е да осъзнаеш, че когато пресмятаме логаритмичен израз като log от а с основа х, отговорът, който получаваме, е степенен показател. Това n в действителност е само един показател. Това е равно на това. Можеше да го напишем само така. Понеже това n е равно на това тук, можем да напишем само х... ще стане малко разхвърляно, х е равно на log от а при основа х, е равно на а. Какво направих? Взех това n и го заместих с този член. И исках да го напиша по този начин, защото целта ми е наистина да получиш логично разбиране за понятието логаритъм, че когато го пресмятаме, той действително е показател. Ще ползваме този начин на записване. И от тук всъщност идват всичките свойства на логаритмите. Сега искам да се спра на свойствата на логаритмите, като се позабавляваме малко. По-нататък ще обобщя всичко, след което ще стане ясно. Но ми се иска да покажа как хората са открили тези неща първоначално. Да кажем, че х... ще сменя цвета, мисля, че това запазва нещата интересни. Да кажем, че х на степен l е равно на а. Ако запишем това като логаритъм, можем да напишем, че log от а с основа х е равно на l, нали така? Само преписах тук написаното най-горе. Нека сменя цветовете. Ако кажа, че х на степен m е равно на b, това е същото, само промених буквите. Но то си означава, че log с основа х от b е равно на m, нали така? Просто преписах същото, което беше на този ред, само смених буквите. Нека продължим така и да видим какво се случва. Да кажем, че... Само да сменя цвета. Да кажем, че имам х на n-та степен, а ти ме питаш: Сал, къде си тръгнал с това? Но ще видиш. Много е лесно. х на n-та степен е равно на а, умножено по b. х на степен n е равно на а, умножено по b. Което е равносилно на log при основа х е равно на а, умножено по b. И какво можем да направим с всичко това? Нека започнем с това тук. х на n-та степен е равно на а, умножено по b. А как можем да преработим това? а е това, нали? А b е това, нали така? Така че нека препишем тук. Знаем, че х на n-та степен дава а. а е това. х на степен l. х на l-та. А b какво е? Умножено по b. Ами b е х на m-та степен, нали така? В момента не правя нищо фантастично. Но на какво е равно х на l-та, умножено по х на m-та степен? От свойствата на степените знаем, че когато умножаваме два израза, които имат една и съща основа и различни степенни показатели, просто събираме степенните показатели. Това е равно на... нека използвам неутрален цвят. Не знам дали казах това граматически правилно, но схващаш идеята. Когато имаме една и съща основа и умножаваме, можем просто да съберем показателите. Това е равно на х на... искам да продължа да сменям цветовете, защото мисля, че това помага. l, l плюс m. Mалко е натоварващо това скачане от цвят на цвят, но... Схващаш какво казвам. Така, х на n-та степен е равно на х на степен l плюс m. Нека х го сложа тук. О, исках това да е зелено. х на степен l плюс n. И какво знаем? Знаем, че х на n-та степен е равно на х на степен l плюс m. Нали така? Имам същата основа. Тези степени трябва да са равни помежду си. Така че знаем, че n е равно на l плюс m. Това какво ни помага? Като че ли някак си досега играх с логаритмите. Стигам ли до някъде? Мисля, че ще видиш, че е така. По какъв друг начин можем да запишем n? Казахме, че х на n-та степен е равно на а, умножено по b... Тук пропуснах една стъпка. И това означава – като се върнем тук, х на n-та степен е равно на а, умножено по b. Което означава, че log при основа х от а, умножено по b, е равно на n. Ти знаеше това. Аз не го знаех. Надявам се, разбираш, че не съм се отказал или нещо такова. Просто забравих да напиша това, когато по-напред те занимавах с него. Но, както и да е. И какво е n? Как по друг начин се пише n? Другият начин за записване е тук. Log при основа х от а, умножено по b. Сега знаем, че ако просто заместим n с това, получваме log с основа х от a, умножено по b. A какво дава това? То е равно на l. Друг начин за запис на l виждаме тук горе. Равно е на log с основа х от а плюс m. A m какво е? m e тук. Така, log с основа х от b. И тук имаме нашето първо свойство на логаритмите. Log с основа х от а, умножено по b – това си е равно на log с основа х от а плюс log с основа х от b. A това, надявам се, е добро доказателство за теб. И ако искаш да разбереш защо решението става така: тръгваме от факта, че логаритмите не са нищо по-различно от степените. И с това ще приключа този клип. А следващия път ще докажа още едно свойство на логаритмите. Ще се видим скоро.