Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:3:51

Свойства на окръжност от каноничното ѝ уравнение

Видео транскрипция

Уравнението на окръжността С е (х + 3)^2 + (у – 4)^2 = 49. Да се намери центъра на окръжността (h; k) и нейния радиус. Да си припомним какво е окръжност. Имаме една точка, да кажем точка (h; k). Окръжността е съвкупността от всички точки, които са равноотдалечени от тази точка. Нека вземем съвкупността от всички точки, които са на разстояние r от точката (h; k). Да приемем, че това разстояние тук е r, а на нас ни трябват всички точки, които са отдалечени точно на разстояние r, т.е. всички точки (х; у), които се намират точно на разстояние r. Можем да си представим, че при ротация всички тези точки ще бъдат точно на разстояние r. Ще дам всичко от себе си, за да начертая възможно най-правилната окръжност. Няма да мога да я начертая перфектно, но ти получаваш представа. Всички тези са точно на разстояние r, ако я бях начертал правилно. Намират се на разстояние r. Как съставяме уравнение по отношение на r, (h; k) и (x; у), което да описва всички тези точки? Знаем как да намираме разстоянието между две точки в декартовата координатна система. Всъщност, това следва от Питагоровата теорема. Ако начертаем една вертикална права ето тук, тя ще представлява изменението по вертикалната ос между тези две точки. Тук горе е у, тук е k, следователно това разстояние ще бъде y минус k. Можем да направим същото по хоризонталната ос. Тази координата х е равна на х, а тази е равна на h. Следователно това разстояние ще бъде x минус h. А това е правоъгълен триъгълник, защото по правило ние мерим тук вертикалното разстояние. Тук мерим хоризонталното разстояние, следователно тези двете са перпендикулярни. От Питагоровата теорема знаем, че това на квадрат плюс това на квадрат трябва да бъде равно на нашето разстояние на квадрат и ето откъде идва формулата за разстоянието. Знаем, че (x – h)^2 + (y – k)^2 трябва да бъде равно на r^2. Това е уравнението за съвкупността... Това описва... Всяко х и у, за които е вярно това уравнение, лежат върху тази окръжност. След като изяснихме това, хайде да отговорим на въпроса. Това е уравнението на окръжността. То изглежда ужасно близо до това, което написахме току-що, просто трябва да се уверим, че не бъркаме знаците. Запомни, то трябва да бъде от вида (x – h), (y – k). Нека да го запишем малко по-различно. Вместо (x + 3)^2 на квадрат, можем да го запишем като (x минус –3)^2. След това имаме плюс... Вече е в този вид – (y – 4)^2 е равно на... Вместо 49 можем просто да напишем 7^2. И сега вече става пределно ясно, че нашето h е равно на –3. Ще го оцветя в червено. Нашето h става –3, нашето k е 4, а нашето r е 7. Следователно можем да кажем, че (h; k) е равно на (-3; 4). Може би ще кажеш: "Тук е –4", но не е. Виж, имаме –k, –4. Следователно, k е 4. По същия начин, имаме –h. Може би ще си помислиш, че h е равно на 3, но ние вадим h. Затова става минус –3. По същия начин радиусът е равен на 7.