Въведение към имагинерни числа

В това видео искам да те запозная с числото i, наричано още имагинерна единица. Това, което ще видиш, може да е трудно за разбиране, защото това число е по-странно от останалите чудновати числа, които изучихме досега: като числата π или е. Странното му е, че то няма стойност, която да опише количество, както сме свикнали да определяме числата. Числото i се определя като число, чийто квадрат е -1. Това определение на i има интересни следствия. Някъде можеш да срещнеш и такова определение на i: i e равно на положителния корен квадратен от -1. Това не е грешно. Има логика, когато квадратът на нещо е -1, може би то е положителният корен от -1. Тези две твърдения звучат почти еднакво, но искам да внимаваш, когато използваш това. Според някои то дори е грешно. Излиза, че те грешат, като казват, че е грешно. Но когато използваш това твърдение, внимавай за значението му. То означава да вземеш положителния корен на отрицателно число, за да го използваш за имагинерни числа и за комплексни числа, които ще учим по-късно. За сегашното си разбиране не е нужно да ги различаваш. Можеш да приемеш, че и двете означават едно и също. С това определение нека намерим различните степени на i. Ако нещо на квадрат е -1, то различните му степени може би са всякакви странни неща. Но всъщност степените на i са много лесни. Те са няколко стойности, които се повтарят. Да започнем с i на нулева степен. Ако кажеш, че тъй като всяко число на степен 0 е 1, то i на степен 0 ще е 1, това е вярно. Можеш да го изведеш също и от определението, но това е доста очевидно: всичко на степен 0 е 1. Следващата степен е i на първа. Всяко число на първа е самото число. Това е просто i. Следва от определението на степените и дотук е очевидно. След това имаме i на втора. По определението за i това е равно на -1. Да пресметнем i на трета степен. Това е i на втора степен по i. Знаем, че i на втора е -1, значи имаме -1 по i. Подчертавам, това е равно на това, i на втора е -1. Като ги умножим, -1 по i е равно на -i. Сега да видим i на четвърта степен. Ще го напиша тук. Подобно на предишните, това е i на трета степен по i. Вече знаем колко е i на трета степен. То е -i. Ако имаме i по i ще е -1, но тук имаме минус. Значи цялото става +1. Нека го разпиша. i по -i е равно на -1 по i по i, заради разместителното свойство на умножението. По определение имаме i по i е равно на -1, става -1 по -1, което е 1. Значи i на четвърта степен е същото като i на нулева. Сега да опитаме с i на пета степен. Това е равно на i на четвърта по i. Вече знаем, че i на четвърта е 1. Значи имаме 1 по i, или само i. Отново това е същото като i на първа степен. Да видим как се повтаря тази зависимост. Например при i на шеста степен. Това е i по (i на пета степен). Знаем, че i на пета е просто i. Значи имаме i по i, по определение е -1. Да обобщим, можем да продължим така. Можем да продължим за по-големи степени на i и стойностите им все ще се повтарят. В следващото видео ще ти покажа как да намираш произволна степен на i, как веднага да разбереш колко е. Но нека се убедим, че този цикъл се повтаря. i на седма степен е равно на i на шеста по i. i на шеста е -1, и i по -1 е -i. За i на осма отново имаме 1. i на девета ще е i и така нататък.