If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:7:35

Намиране на обратни функции: квадратни (пример 2)

Видео транскрипция

Имаме функцията f(х) = (х - 1)^2 - 2 Дефиниционното множество (ДМ) е х да е по-малко или равно на 1. Тук имаме лявата половина на парабола. Те са ни ограничили, за да не е пълна U парабола. И ще те оставя да помислиш защо това ще направи намирането на обратната функция по-трудно. Но нека се опитаме да намерим обратната функция тук. Добро място да започнем е да приемем, че у = f(x). Може да се каже, че y = f(x) или бихме могли просто да напишем, че y = (х - 1)^2 - 2. Знаем, че това е 4. x е по-малко или равно на 1. Но точно сега имаме y, изразено чрез x. Или сме го решили за у, а за да намерим обратната функция, ще трябва да изразим х чрез у. Ще ограничим y по същия начин. Можем да погледнем графиката и да кажем, че на тази графика тук функцията е определена за y, по-голямо или равно на -2. Така че вероятно можем да сложим в скоби: y, по-голямо или равно на -2. Тъй като това ще бъде... Сега това е нашето функционално множество (ФМ). Но когато разменим х и y, ще бъде нашето ДМ. Така че нека просто да запазим скобите ето там. Нека сега решим за х. Това е всичко, което трябва да направим, за да намерим обратната функция. Решаваме за х и се уверяваме, че следим за изпълнението на ДМ и ФМ. Нека видим. Можем да добавим 2 към двете страни на това уравнение. Получаваме у + 2 = (х - 1)^2 -2 и +2 се унищожават. Сега ще имам предвид ограниченията за у, защото сега не е ясно какво решаваме – за ДМ и ФМ на х или за ДМ и ФМ на у. Но знаем, че до края на тази задача, у ще бъде нашето ДМ. Така че нека просто да разменим тези тук. И така, за y, по-голямо или равно на -2. И можем да кажем също така, в скоби, че x е по-малко от 1. Не сме го решили за никое от двете засега все още, така че ще ги запазим и двете засега. Сега, за да решим за x, може да се изкушим просто да вземем корен квадратен от двете страни тук. И няма да бъде напълно погрешно. Но трябва да бъдем много, много, много внимателни тук. И това може да не е нещо, което не сме виждали досега. Така че това е интересно тук. Искаме дясната страна да е просто (х - 1). Това е нашата цел тук, при вземането на корен квадратен от двете страни, искаме да имаме само (х - 1) там. Сега, (х - 1) положително или отрицателно число е? Добре, ние сме ограничили х да е по-малко от 1. Така че се занимаваме само със ситуацията, при която х е по-малко или равно на 1. Ако x е по-малко или равно на 1, тогава това е отрицателно. Това е отрицателно. Така че ние искаме да вземем отрицателния корен квадратен тук. Нека бъде много ясно тук. Ако имам -3 и трябваше да го повдигна на квадрат, това ще е равно на 9. Сега обаче, ако вземем корен квадратен от 9... Да кажем, че взимаме корен квадратен от двете страни на това уравнение. И нашата цел е да се върнем обратно до -3. Ако вземем положителния квадратен корен... Ако просто вземем положителния корен от двете страни на това, ще получим 3 е равно на 3. Но това не е нашата цел. Ние искаме да се върнем до -3. Така че искаме да вземем отрицателния корен квадратен на нашия квадрат. Така, понеже този израз е отрицателен и ние искаме да се върнем до този израз – искаме да се върнем до това (х - 1) – трябва да вземем отрицателния корен квадратен от двете страни. Всеки точен квадрат има положителен и отрицателен корен. Основният корен квадратен е положителният. Но тук искаме да вземем отрицателния корен, защото този израз тук е отрицателен. И това е, което искаме да решим. Така че нека вземем отрицателния корен квадратен на двете страни. И получаваме отрицателен корен квадратен от (y + 2) е равно на – и ще запиша тази допълнителна стъпка тук, просто за да разбереш какво правим – е равно на отрицателния корен квадратен от (х - 1)^2, за y, по-голямо или равно на -2. И x е по-малко или равно на 1 – това е цялата причина да взимаме отрицателния корен квадратен тук. И тогава този израз тук – нека запиша лявата страна отново. Отрицателният корен квадратен от (у + 2) е равен на – отрицателният корен квадратен от (х - 1)^2 ще е просто (х - 1). Ще бъде просто (х - 1). (х - 1)^2 е някакво положително число. Отрицателният корен квадратен е отрицателното число, което трябва да повдигнем на квадрат, за да го получим – за да получим (х - 1)^2. Така че това просто става (х - 1). Надявам се, че не това не те обърква много. Ние просто искаме да се отървем от този квадрат тук. Искаме да се уверим, че получаваме отрицателния вариант. Не искаме положителния вариант, който ще е (1 - x). Не искам да те обърквам. Така че просто трябва да решим за x. Добавяме 1. Нека запишем: за y, по-голямо или равно на -2. Добавяме 1 към двете страни. Получаваме: отрицателният корен квадратен на (y + 2), плюс 1, е равно на x, за y, по-голямо или равно на -2. Или, ако искаме да преобразуваме, можем да напишем, че х е равно на отрицателния корен квадратен от (y + 2), плюс 1, за y, по-голямо или равно на -2. Или ако искаме да го запишем като обратна функция на у, можем да кажем, че обратната f(y) функция е равна на това, или че обратната f(y) е равна на отрицателния корен квадратен от (y + 2), плюс 1, за y, по-голямо или равно на -2. И сега, ако искаме това по отношение на x – ако искаме просто да преименуваме y на x, просто ще заменим y с х. Така че можем да напишем обратната f(x) функция – просто преименувам y тук – е равно на отрицателния корен квадратен от (x + 2), плюс 1. Просто преименувам y – за x, по-голямо или равно на -2. И ако трябваше да направим графика, да видим. Ако започнем с x = -2, това е 0. Тоест точката (-2; 1) ще бъде на нашата графика. (-2; 1) ще бъде на нашата графика. Да видим, ако вземем -1... Това ще стане -1. (-1; 0) е на нашата графика. (-1; 0) е на нашата графика. И тогава, да видим. Ако имахме х = 2 тук, тогава имаме 4 – положителният корен квадратен от 4 е 2, става -2, и получаваме: (2; -1). Тази точка също е на нашата графика. Така че графиката ще изглежда нещо подобно на това, за обратната f функция. Ще изглежда като това там. Както можеш да видиш, това е симетрично на оригиналната графика на f(x) спрямо правата у = х. Спрямо у = х. Защото по същество просто разменихме x и y. Това е точно толкова трудно, колкото исках да бъде. Особено преди да започнеш да изучаваш алгебра, защото наистина е трудно да осъзнаеш, че трябва да се вземе отрицателния корен квадратен тук. Заради ограниченията на нашето ДМ, тази стойност тук ще бъде отрицателна. Така че за да я намерим, ни трябва отрицателния корен квадратен.