Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:02

Разлагане на множители на полиноми от по-висока степен

Видео транскрипция

"Постави реалните нули на дадения полином на графиката по-долу." И ни дават, че р(х) е равно на 2х^5 плюс х^4 минус 2х минус 1. И когато казват да ги поставим, те ни дават този малък инструмент тук. С него, ако кликнем върху която и точка на това, получаваме нашата точка. И можем да поставим толкова точки, колкото искаме. И можем да влачим тези точки наоколо. Или ако не ги искаме, можем просто да ги хвърлим в този малък кош долу вдясно. Нека помислим кои са нулите на този полином. За да направя това ще извадя бележника си. И отначало това изглежда малко трудно. Това тук е полином от пета степен. Разлагане на полином от пета степен е изкуство. Ще трябва да се съсредоточиш и да търсиш модели. Ако очакват да намериш нулите, без помощта на компютър, без помощта на калкулатор, тогава трябва да има някакъв вид модел, който можеш да разгадаеш. Нека препиша р(х). р(х) = 2х^5 + х^4 - 2х - 1. Един начин, който обикновено се забелязва, когато опитваш да разложиш този вид полином, е да опиташ да "обърнеш" разпределителното свойство няколко пъти. И ако искаш да го свържеш с техниките за разлагане на уравнения от втора степен, това е разлагане чрез групиране. Например виждаш 2х - 1 или нещо, което изглежда като 2х - 1. И тук имаш 2х^5 + х^4. Имаш член 2 пъти х от по-висока степен плюс член с х на степен с 1 по-ниска. Така че изглежда има някакъв вид модел. 2 по х от по-висока степен – това е член от първа степен – минус 1 по – можеш да разглеждаш това като х^0 – членът от по-ниска степен. Нека помислим малко върху това. Какво се случва, ако опитаме да групираме тези два члена и групираме тези два члена тук. И опитваме да разложим нещо друго, за да подредим малко това, за да видим дали можем да намерим някаква логика в него. Най-големият общ делител на тези два члена е х^4. Можем да запишем това като х^4(2х + 1). И това трябва да ни зарадва, понеже изглежда доста близо до това, особено ако изнесем -1 ето тук. Можем да изнесем -1 пред скоби. И това ще е 2х + 1. И това е вълнуващо, понеже сега можем да изнесем (2х + 1) пред скоби от всеки от тези членове. Имаш 2х + 1. Ще изнесем тези двете пред скоби, за да получим (2х + 1) – което току-що изнесохме пред скоби. И ако го изнесем от този член ето тук, тогава ти остава х^4. И ако го изнесеш от този член, тук ти остава само 'минус 1'. Минус 1. И това е вълнуващо, понеже 2х + 1, това е много лесно да се изчисли кога това е равно на 0. Ще направим това след малко. Това е лесно за разлагане. Това е разлика на квадрати. Това тук може да бъде преобразувано до (х^2 + 1)(х^2 - 1). И, разбира се, отпред все още имаме това 2х + 1. 2х + 1. Отново, имаме друга разлика на квадрати. Ето тук имаме друга разлика на квадрати. Това е същото като (х + 1)(х - 1). Нека запиша всички други части на този израз. х^2 + 1. И имаш 2х + 1. 2х + 1. И мисля, че разложих р(х) толкова, колкото може да се очаква. р(х) е равно на всичко това. И помни, цялата причина да искам да разложа това е, че исках да намеря кога това е равно на 0. Ако р(х) може да се изрази като произведение на няколко такива израза, то тя ще бъде 0, когато поне един от тези изрази е равен на 0. Ако който и да е от тях е равен на 0, тогава това ще направи целия този израз равен на 0. Кога 2х+1 е равно на 0? 2х + 1 = 0. Вероятно можеш да решиш това наум, а можем да го направим и систематично. Изваждаме 1 от двете страни и получаваш, че 2х е равно на -1. Делиш двете страни на 2, получаваш, че х = - 1/2. Когато х е равно на -1/2 – един начин да помислим за това е, че р(-1/2) е 0. Това тук е една точка на графиката, това е една от реалните нули. Сега можем да опитаме да решим това. х^2 + 1 = 0 и ще го запиша, за да ти покажа. Ако опитаме да изолираме члена с х отляво – изваждаме 1 от двете страни – получаваш х^2 = -1. Ако трябваше да мислим за имагинерни числа, можехме да помислим колко ще е х. Но искат от нас да намерим реалните нули. Реалните нули. Няма реално число, при което това число на квадрат да е равно на -1. Така че няма да получим николко реални нули, като направим това да е равно на 0. Няма реално число х, при което х^2 + 1 да е равно на 0. Нека помислим кога х + 1 може да е равно на 0. Ще извадим 1 от двете страни. Получаваш х = -1. р(-1) ще е равно на 0. Това е още една от нашите нули. И накрая, нека помислим кога х - 1 е равно на 0. Добавяме 1 към двете страни. х = 1. Имаме още една реална нула ето тук. И можем да ги поставим на графиката. Това са -1, -1/2 и 1. Това са -1, -1/2 и 1. Можем да проверим отговора си. И той е верен. Едно нещо, което може да те притеснява, е, че случайно успях да групирам тези по правилния начин. А ако опитаме да ги групираме по различен начин? Нека опитаме да направим това. Може да е интересно. Просто за да ти покажа, че това не е вуду магия. Има няколко начина да получим това. Има няколко начина да стигнем дотук. А ако вместо да го запиша така, където го записваш с члена от най-висока степен и следващия с най-висока степен, и така нататък, го запиша така: р(х) = 2х^5 - 2х + х^4 - 1. Дори по този начин можеш да направиш доста интересно групиране. Ако групираш тези двете, виждаш, че имат общ множител от 2х. Изнасяш 2х, получаваш 2х(х^4 - 1). Мисля, че виждаш какво се случва. И после това може да бъде преобразувано до +1(х^4 - 1). И сега можеш да изнесеш (х^4 - 1) пред скоби. И ти остава – ще направя това в неутрален цвят – (х^4 - 1)(2х + 1), което е много по-лесно за разлагане. Разлика на квадрати. Точно каквото направихме предишния път. Има няколко начина, по които можеш да групираш това и да обърнеш разпределителното свойство. Но ще призная, че това донякъде е изкуство. Трябва да се позанимаваш с това и да си кажеш: "Нека групираме първите два члена, да видим дали има общ множител. Нека групираме вторите два члена, да видим дали там има общ множител." След като изнесем тези общи множители, изглежда и двата от тези члена имат този общ израз като множител. И после можеш да изнесеш него пред скоби.