Опростяване на рационални изрази (за напреднали)

Научи ли основното при опростяването на рационални изрази? Чудесно! Сега натрупай още опит с няколко по-сложни примера.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е отношението на два полинома. Един рационален израз се смята за опростен, ако числителят и знаменателят нямат общи множители.
Ако това е ново за теб, препоръчваме да разгледаш нашето въведение в опростяването на рационални изрази.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще се упражняваш да опростяваш по-сложни рационални изрази. Нека разгледаме два примера, след което можеш да опиташ да решиш няколко задачи!

Пример 1: Опростяване на  10x32x218x~\dfrac{10x^3}{2x^2-18x}

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
Тук е важно да обърнеш внимание, че независимо, че числителят е едночлен, можем да разложим и него.
10x32x218x=25xx22x(x9)\dfrac{10x^3}{2x^2-18x}=\dfrac{ 2\cdot 5\cdot x\cdot x^2}{ 2\cdot x\cdot (x-9)}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза се вижда, че x0{x\neq0} и x9{x\neq9}.
Стъпка 3: Изключи общите множители
25xx22x(x9)=25xx22x(x9)=5x2x9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\cdot 5\cdot \purpleC{x}\cdot x^2}{ \tealD 2\cdot \purpleC{x}\cdot (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot 5\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
Опростеният израз изглежда по следния начин:
5x2x9\dfrac{5x^2}{x-9} за x0x\neq 0
Припомни си, че първоначалният израз изисква x0,9x\neq 0,9. В опростения израз трябва да има същите недопустими стойности.
Поради това трябва да обърнем внимание, че x0x\neq 0. Не е нужно да отбелязваме, че x9x\neq 9, тъй като това се подразбира от израза.

Основен момент

В този пример виждаме, че понякога ще се налага да разлагаме едночлени, за да опростим един рационален израз.

Провери знанията си

1) Опрости 6x212x49x3\dfrac{6x^2}{12x^4-9x^3}.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
6x212x49x3=32x23x3(4x3)\dfrac{6x^2}{12x^4-9x^3}=\dfrac{ 3\cdot 2\cdot x^2}{ 3x^3(4x-3)}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза се вижда, че x0{x\neq0} и x34{x\neq\dfrac34}.
Стъпка 3: Изключи общите множители
32x23x3(4x3)=32x23xx2(4x3)=32x23xx2(4x3)=2x(4x3)\begin{aligned}\dfrac{3\cdot 2 \cdot x^2}{ 3x^3(4x-3)}&=\dfrac{ \purpleC{3}\cdot 2\cdot \tealD{x^2}}{ \purpleC{3}\cdot x\cdot \tealD{x^2}(4x-3)}\\ \\ &=\dfrac{ \purpleC{\cancel{3}}\cdot 2\cdot \tealD{\cancel{x^2}}}{ \purpleC{\cancel{3}}\cdot x\cdot \tealD{\cancel{x^2}}(4x-3)}\\ \\ &=\dfrac{2}{x(4x-3)} \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
2x(4x3)\dfrac{2}{x(4x-3)}
Забележи, че първоначалният израз изисква x0,34x\neq 0,\dfrac34. Опростеният израз има същите изисквания. Няма нужда да ограничаваме никакви допълнителни стойности.

Пример 2: Опростяване на  (3x)(x1)(x3)(x+1)~\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)}

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
Дори и да не изглежда, че има общи множители, x3x-3 и 3x3-x са свързани. Всъщност, можем да изключим 1-1 от числителя, за да открием общия множител x3x-3.
=(3x)(x1)(x3)(x+1)=1(3+x)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)Комутативност\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{Комутативност}}} \end{aligned}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза се вижда, че x3{x\neq3} и x1{x\neq-1}.
Стъпка 3: Изключи общите множители
=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x1)x+1=1xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
Последната стъпка на умножение по 1-1 в числителя не беше необходима, но е прието да се прави така.
Стъпка 4: Краен отговор
Изписваме опростения вид на израза както следва:
1xx+1\dfrac{1-x}{x+1} при x3x\neq 3
Припомни си, че първоначалният израз изисква x3,1x\neq 3,-1. За опростения израз се отнасят същите недопустими стойности.
Поради това трябва да обърнем внимание, че x3x\neq 3. Не е нужно да отбелязваме, че x1x\neq -1, тъй като това се подразбира от израза.

Основен момент

Множителите x3x-3 и 3x3-x са противоположни, тъй като 1(x3)=3x-1\cdot (x-3)=3-x.
В този пример видяхме, че тези множители отпадат, но се прибавя множител 1-1. Казано по друг начин, множителите x3x-3 и 3x3-x се свеждат до -1\textit{-1}.
По принцип, противоположните множители aba-b и bab-a ще се сведат до 1-1, при условие, че aba\neq b.

Провери знанията си

2) Опрости (x2)(x5)(2x)(x+5)\dfrac{(x-2)(x-5)}{(2-x)(x+5)}.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
Числителят и знаменателят са вече в опростен вид.
(x2)(x5)(2x)(x+5)\dfrac{(x-2)(x-5)}{(2-x)(x+5)}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза се вижда, че x2{x\neq2} и x5{x\neq-5}.
Стъпка 3: Изключи противоположните множители
Съкращаваме (x2)\tealD{(x-2)} и (2x)\tealD{(2-x)}, за да ги сведем до множител 1\goldD{-1}.
(x2)(x5)(2x)(x+5)=1(x2)(x5)(2x)(x+5)=1(x5)x+5=5xx+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD{(x-2)}(x-5)}{\tealD{(2-x)}(x+5)}&=\dfrac{\goldD{-1}\tealD{\cancel{(x-2)}}(x-5)}{\tealD{\cancel{(2-x)}}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{-1(x-5)}{x+5}\\ \\ &=\dfrac{5-x}{x+5} \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
Опростеният израз изглежда по следния начин:
5xx+5\dfrac{5-x}{x+5} за x2x\neq 2
3) Опрости 1510x8x312x2\dfrac{15-10x}{8x^3-12x^2}.
при xx\neq
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
1510x8x312x2=5(32x)4x2(2x3)\dfrac{15-10x}{8x^3-12x^2}=\dfrac{ 5(3-2x)}{ 4x^2(2x-3)}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза виждаме, че x0{x\neq0} и x32{x\neq\dfrac32}.
Стъпка 3: Изключи противоположните множители
Изключваме (32x)\tealD{(3-2x)} и (2x3)\tealD{(2x-3)}, за да ги сведем до множител 1\goldD{-1}.
5(32x)4x2(2x3)=5(1)(32x)4x2(2x3)=54x2\begin{aligned}\dfrac{ 5\tealD{(3-2x)}}{ 4x^2\tealD{(2x-3)}}&=\dfrac{ 5\cdot \goldD{(-1)}\tealD{\cancel{(3-2x)}}}{ 4x^2\tealD{\cancel{(2x-3)}}}\\ \\ &=\dfrac{-5}{4x^2} \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
Опростеният израз е:
54x2\dfrac{-5}{4x^2} за x32x\neq \dfrac32

Нека опитаме още няколко задачи

4) Опрости 3x15x26x\dfrac{3x}{15x^2-6x}.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
3x15x26x=3x3x(5x2)\dfrac{3x}{15x^2-6x}=\dfrac{ 3 x}{ 3x(5x-2)}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза виждаме, че x0{x\neq0} и x25{x\neq\dfrac25}.
Стъпка 3: Изключи общите множители
3x3x(5x2)=3x3x(5x2)=15x2\begin{aligned}\dfrac{ \tealD{3 x}}{ \tealD{3x}(5x-2)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{3 x}}}{ \tealD{\cancel{3x}}(5x-2)}\\ \\ &=\dfrac{ 1}{5x-2} \end{aligned}
Обърни внимание, че, ако числителят отпадне изцяло, остава множител 11.
Стъпка 4: Краен отговор
Опростеният израз е:
15x2\dfrac{ 1}{5x-2} за x0x\neq 0
5) Опрости 3x315x2+12x3x3\dfrac{3x^3-15x^2+12x}{3x-3}.
при xx\neq
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
Обърни внимание, че в числителя има общ множител 3x3x. Можем да го разложим, а след това да разложим получения тричлен.
3x315x2+12x3x3=3x(x25x+4)3(x1)=3x(x4)(x1)3(x1)\begin{aligned}\dfrac{3x^3-15x^2+12x}{3x-3}&=\dfrac{ 3x(x^2-5x+4)}{ 3(x-1)}\\ \\ &=\dfrac{ 3x(x-4)(x-1)}{ 3(x-1)} \end{aligned}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза се вижда, че x1{x\neq1}.
Стъпка 3: Изключи общите множители
3x(x4)(x1)3(x1)=3x(x4)(x1)3(x1)=x(x4)\begin{aligned}\dfrac{ \tealD{3}\cdot x(x-4)\purpleC{(x-1)}}{ \tealD{3}\cdot \purpleC{(x-1)}}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{3}}\cdot x(x-4)\purpleC{\cancel{(x-1)}}}{ \tealD{\cancel{3}}\cdot \purpleC{\cancel{(x-1)}}}\\ \\ &=x(x-4) \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
Опростеният израз е:
x(x4)x(x-4) за x1x\neq 1
6) Опрости 6x212x6x3x2\dfrac{6x^2-12x}{6x-3x^2}.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
Обърни внимание, че числителят съдържа общ множител 6x6x, а знаменателят - общ множител 3x3x.
6x212x6x3x2=6x(x2)3x(2x)\begin{aligned}\dfrac{6x^2-12x}{6x-3x^2}&=\dfrac{6x(x-2)}{3x(2-x)}\\ \end{aligned}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза се вижда, че x0x\neq 0 and x2x\neq2.
Стъпка 3: Изключи общите множители и противоположните множители
Обърни внимание, че можем да изпишем 6x6x като 23x2\cdot 3x. После можем да изключим 3x3x както от числителя, така и от знаменателя.
След това можем да сведем общите множители (x2)(x-2) и (2x)(2-x) до 1-1.
6x(x2)3x(2x)=2(x2)(2x)=2(1)(x2)(2x)=2\begin{aligned}\phantom{\dfrac{6x(x-2)}{3x(2-x)}}&=\dfrac{2\cdot \purpleC{(x-2)}}{\purpleC{(2-x)}}\\ \\ &=\dfrac{2\cdot(\goldD{-1}) \purpleC{\cancel{(x-2)}}}{\purpleC{\cancel{(2-x)}}}\\ \\ &=-2 \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
Опростеният израз е:
2-2 за x0,2x\neq 0,2
Зареждане