Зареждане

Опростяване на рационални изрази: членове с по-висока степен

Видео транскрипция

Хайде да видим дали можем да опростим този израз. Спри видеото на пауза и опитай да решиш задачата. След това ще я решим заедно. Когато погледнеш израза, изглежда, че както числителят, така и знаменателят могат да се разложат и вероятно имат някои общи множители, на които можеш да ги разделиш, за да опростиш израза. Така че нека първо се опитаме да разложим числителя. х на четвърта степен плюс 8 по х на квадрат плюс 7. На пръв поглед може би изглежда малко плашещо, защото тук имаме х на четвърта степен. Не е квадратен многочлен, а многочлен от четвърта степен, но, подобно на много квадратни многочлени, каквито сме виждали преди, изглежда и този си има модел. Например, ако това е х на квадрат плюс 8х плюс 7, ще си кажем: е, добре, това е прекалено ясно, за да го разлагаме. Кои две числа се допълват до 8 и произведението им е равно на 7? Единствените две числа, чието произведение е равно на 7 и те самите са положителни – а те трябва да бъдат положителни, след като ще се допълват до 8, са 1 и 7. Следователно това ще бъде (х + 7) по (х + 1). Ако вместо да мислиш за х и х на квадрат, мислиш за х на квадрат и х на четвърта степен, ще се получи точно същото. Следователно това нещо може да се напише като (х на квадрат плюс 7) по (х на квадрат плюс 1). Ако искаме, можем да направим някакво заместване като кажем, че a е равно на х на квадрат, при което – ако приемем, че a е равно на х на квадрат, тогава това ще стане а на квадрат плюс 8а плюс 7. Тогава можем да разложим това на (а + 7) и (а + 1), След това ще отменим заместването и става (х на квадрат плюс 7) и (х на квадрат плюс 1). Дано да разбираш какво се случва тук. Това е член от по-висока степен тази степен е половината на тази, следователно пасва на този шаблон. Следователно можем да извършим заместване или просто да отбележим, че, да, вместо да работим с х на квадрат, работим с х на четвърта степен. Добре, това е в числителя. А сега да разгледаме знаменателя. И двата члена в знаменателя се делят на 3х. Така че нека изнесем 3х пред скоби. Става 3х по... Ако разделим на 3х тук, 3, делено на 3, е равно на 1. х на пета, делено на х, е равно на х на четвърта и ако разделим на 3х тук, просто ще получим 1. Но дотук това не ни помага особено. Не виждам х на четвърта минус 1 или 3х в числителя, но може би мога да го разложа още – това х на четвърта минус 1. Това е така, защото е разлика на квадрати. Може да си кажеш: "Чакай, аз винаги разпознавам една разлика на квадрати като нещо подобно на а на квадрат минус 1, което можем да преобразуваме до (а + 1) по (а - 1). И това ще бъде а на квадрат минус 1, ако приемем, че а е равно на х на квадрат. Тогава това ще стане а на квадрат минус 1. Следователно нека го преобразуваме цялото. И така, всичко това ще бъде равно на... Същия числител. Да видим, да го оцветим в зелено. Същия числител. х на квадрат плюс 7 – повече не можем да разлагаме тук, по х на квадрат плюс 1 – и това не можем да разложим повече, всичко това върху 3х, но това може да се разглежда като разлика на квадрати. Това става х на квадрат на квадрат, а това очевидно е 1 на квадрат. Следователно ще стане (х на квадрат плюс 1) по (х на квадрат минус 1). Сега е ясно, че имаме х на квадрат минус 1 в числителя – извинявам се – х на квадрат плюс 1 в числителя, х на квадрат плюс 1 в знаменателя и мога да ги съкратя. И в числителя ще остане х на квадрат плюс 7 върху 3х по (х на квадрат минус 1). това изглежда вече доста просто, но ние искаме да сме внимателни, защото, когато извършваме това съкращаване, искаме да сме сигурни, че ще ограничим стойностите на х, за които изразът е дефиниран, защото искаме те да бъдат алгебрично еквивалентни. И така, това очевидно ще недефинирано при х, равно на 0, както и на 1 или -1. 1 или -1 ще приравни на 0 този израз ето тук, затова х не може да бъде равно на 0, 1 и -1. Защото тази част ще стане равна на 0. Но ето това тук, ако приемем, че работим само с реални числа, това никога не може да бъде равно на 0, ако работим с реални числа, защото х на квадрат винаги ще има неотрицателна стойност, а ние го прибавяме към положителна стойност. Така че тази част, този член, никога не би направил цялото нещо недефинирано. Следователно можем да го съкратим, без много да му мислим. И така, това всъщност е алгебрично еквивалентно на първоначалния израз. Сега можем да поставим тези ограничения, ако искаме. Ако някой ме попита при какви стойности на х изразът е недефиниран, е ясно, че е недефиниран при такова х, което ще приравни знаменателя на 0. Делението на 0 не е дефинирано, При х, равно на 1 или -1, знаменателят също ще стане 0. Това произтича пряко от този израз, следователно този израз и първоначалният ни израз са алгебрично еквивалентни. Сега, ако искаш, можеш да разшириш малко долната част – да я умножиш, ако искаш. Получава се х на квадрат плюс 7 върху 3х по х на квадрат равно на 3 по х на трета степен, минус 3х. Тези всички са еквивалентни изрази. Готови сме.