Виж тези упражнения с подсказки, където ще започнеш с намирането на проста сума и ще завършиш с намирането на крайна сума от членове на аритметична прогресия.
Нека започнем със задача със събиране.

Намери сбора: 1+3+5+7+91 + 3 + 5 + 7 + 9.

  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Страхотно! Току що намери сумата на малка аритметична прогресия. Тя имаше само 55 члена. Но какво би станало, ако имаше един милион члена? Задължително бихме искали формула. За щастие вече научихме за такава формула.
Идентифицирай формулата за сумата на аритметична прогресия.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Формула за аритметична прогресия

Сумата SnS_n на безкрайна аритметична прогресия е
     Sn=(a1+an)2n~~~~~S_n = \dfrac {\left(a_1 + a_n \right)}{2} \cdot n
където a1a_1 е първия член, ana_n е последния член, и nn е броят на членовете.
Чудесно! Значи помниш формулата. Нека сега се уверим, че помним как да я приложим.
Избери отговора, който показва формулата, използвана вярно за намирането на сумата, която намери.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Първият член a1a_1 е 1\greenD1. Последният член ana_n е 9\goldD9. Броят членове nn е 5\blueD5.
Sn=(a1+an)2nS_n = \dfrac {\left(a_1 + a_n \right)}{2} \cdot n
Sn=(1+9)25\phantom{S_n = }\dfrac{(\greenD1 + \goldD9)}{2} \cdot \blueD5
Този израз е равен на 2525, както и трябва!
Чувстваме се добре до тук. Нека опитаме да използваме формулата, за да намерим сумата на артиметичната прогресия, която ще бъде досадна за изчисление на ръка.

Разгледай редицата 3+5+7+...+4013 + 5 + 7 + ... + 401.

Намери стойностите на a1a_1 и ana_n за тази серия.
n=n =
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}
an=a_n =
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Първият член е a1a_1 is 3\greenD3.
Последният член ana_n е 401\goldD{401}.
Намери стойността на nn за тази поредица.
n=n =
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Прогресията се увеличава с 4013=398401 - 3 = 398 от първия член към последния член. Тъй като прогресията се увеличава с 22 всеки път, ни трябват 3982=199\dfrac{398}{2} = 199 члена, за да стигнем от първия член до последния член. Все още трябва да броим първия член, така че в прогресията има 199+1=200199 + 1 = \blueD{200} члена.
С други думи, n=200n = \blueD{200}.
Намери сбора на 3+5+7+...+4013 + 5 + 7 + ... + 401
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Първият член a1a_1 е 3\greenD3. Последният член ana_n е 401\goldD{401}. Броят членове nn е 200\blueD{200}.
Sn=(a1+an)2nS200=(3+401)2200S200=4042200S200=202(200)S200=40,400\begin{aligned} S_n &= \dfrac {\left(a_1 + a_n \right)}{2} \cdot n \\\\\\\\ S_{\blueD{200}}&= \dfrac {\left(\greenD3 + \goldD{401} \right)}{2} \cdot \blueD{200} \\\\\\\\ S_{{200}} &= \dfrac{404}{2} \cdot 200\\\\\\\\ S_{{200}} &= 202(200) \\\\\\\\ S_{{200}} &= 40{,}400\end{aligned}
Уау! Добре, изглежда, че можем да се справим.

Опитайте сами

Задача 1
Намери сбора.
11+20+29+...+4052=11 + 20 + 29 + ... + 4 052=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Първият член a1a_1 е 11\greenD{11}. Последният член ana_n е 4052\goldD{4052}. Броят членове nn е 450\blueD{450}.
Sn=(a1+an)2nS450=(11+4052)2450S450=40632450S450=2031.5(450)S450=914,175\begin{aligned} S_n &= \dfrac {\left(a_1 + a_n \right)}{2} \cdot n \\\\\\\\ S_{\blueD{450}}&= \dfrac {\left(\greenD{11} + \goldD{4052} \right)}{2} \cdot \blueD{450} \\\\\\\\ S_{{450}} &= \dfrac{4063}{2} \cdot 450\\\\\\\\ S_{{450}} &= 2031.5(450) \\\\\\\\ S_{{450}} &= 914{,}175\end{aligned}
Хубаво! Опитайте още една!
Задача 2
Намери сбора.
10+(1)+(12)+...+(10979)=10 + (-1) + (-12) + ... + (-10 979)=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 66
  • несъкратима правилна дроб, като 3/53/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/47/4
  • смесено число като 1 3/41\ 3/4
  • точна десетична дроб като 0.750.75
  • кратно на ПИ като 12 pi12\ \text{pi} или 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Първият член a1a_1 е 10\greenD{10}. Последният член ana_n е 10,979\goldD{-10{,}979}. Броят членове nn е 1000\blueD{1000}.
Sn=(a1+an)2nS1000=(10+10,979)21000S1000=10,96921000S1000=5484.5(1000)S1000=5,484,500\begin{aligned} S_n &= \dfrac {\left(a_1 + a_n \right)}{2} \cdot n \\\\\\\\ S_{\blueD{1000}}&= \dfrac {\left(\greenD{10} + \goldD{-10{,}979} \right)}{2} \cdot \blueD{1000} \\\\\\\\ S_{{1000}} &= \dfrac{-10{,}969}{2} \cdot 1000\\\\\\\\ S_{{1000}} &= -5484.5(1000) \\\\\\\\ S_{{1000}} &=-5{,}484{,}500\end{aligned}