If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:3:32

Доказателство на формулата за сума от първите n члена на аритметична прогресия

Видео транскрипция

В последното видео доказахме, че сумата на всички положителни цели числа до n включително може да бъде изразена като n по (n + 1), цялото върху 2. Доказахме го чрез индукция. В това видео искам да ти покажа, че всъщност има по-просто доказателство за това. Но не чрез индукция, така че тя няма да е включена в това видео. Но ще ти покажа, че съществува, просто за да знаеш, че индукцията не е единственият начин да го докажем. Определяме функция S(n) като сума от всички положителни цели числа до и включително n. Това е равно на, по определение, 1 плюс 2, плюс 3, плюс... чак до плюс (n - 1), плюс n. Така че имаме сумата от всички цели числа чак до n включително. Това е начинът, по който я определяме. Можем да я напишем отново. Можем да кажем, че сумата S(n) – можем просто да напишем същото нещо, но в различен ред. Можем да кажем, че това е същото като n + (n + 1) + (n - 2) + ... чак до + 2, + 1. Как ще ни помогне това? Можем всъщност да съберем тези два реда. Ако съберем S(n) с S(n), ще получим 2 по тази сума, тоест просто събираме лявата страна. След това можем също да съберем и дясната страна. Просто събираме тази сума два пъти, но това, което е интересно, е как ще ги съберем. Ще съберем този член с този член, този член с този член, защото всъщност се опитваме да съберем тези две неща. Можем да изберем всякакъв начин да ги съберем. 1 плюс n ще бъде (n + 1). След това ще съберем – нека го напиша с розово – 2 плюс (n - 1). 2 плюс (n - 1)? Нека го напиша тук. 2 плюс (n - 1). Това е същото като 2 плюс n минус 1, което е същото като (n + 1). 2 минус 1 е просто 1. Това ще бъде също (n + 1). След това този член тук, 3 плюс (n - 2) или (n - 2) плюс 3. Това ще бъде отново (n + 1). Ще направим това за всеки член, чак докато стигнем до тук: (n - 1) плюс 2. Това ще бъде също (n + 1). След това тук накрая получаваме (n + 1). Плюс (n + 1). Каква ще бъде цялата тази сума? Колко от тези (n + 1) имаме? Имаме n от тях, за всеки член във всяка от сумите. Това е 1, 2, 3 ... броим чак до n. Имаме n от тези членове. Имаме n на брой (n + 1). Ако прибавим нещо към същото n на брой пъти или ако имаме нещо n пъти тук, това ще е равно точно на n по (n + 1). 2 пъти тази сума от всички положителни цели числа до n включително ще бъде равна на n по (n + 1). Ако разделим двете страни на 2, получаваме израз за сумата. Сумата на всички положителни цели числа чак до n включително ще бъде равна на n по (n + 1), върху 2. Тук намерихме доказателство, при което не използвахме индукция. Това наистина е вид изцяло алгебрично доказателство.