Основно съдържание

Курс: 10. клас (България) > Раздел 2

Урок 2: Аритметична прогресия: формула за общия член

Въведение във формулите за аритметични прогресии

Свикни с основите на явно и рекурентно зададените формули за аритметични прогресии.

Преди да започнеш с този урок се увери, че знаеш основното за аритметичните прогресии и имаш някакъв опит с изчисляване на функции, и дефиниционно множество на функции.

Каква е формулата?

Свикнали сме да изразяваме аритметичните прогресии така:

3, 5, 7, …

Но има и други начини. В този урок ще научим два нови начина за представяне на аритметичните прогресии: рекурентно зададени формули и явно зададени формули. Формулите ни дават инструкции за това как да намерим всеки член от прогресията.

За да са общи, формулите използват

n

, за да представят кой под ред е члена, и

a (n)

, за да представят

n^{-тия}

член от редицата. Например тук първите няколко члена на аритметичната прогресия са 3, 5, 7, ...

$n$ ‍	$a (n)$ ‍
(Номер на члена)	( $n^{-ти}$ ‍ член)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

По-горе споменахме, че тези формули ни дават инструкции за това как да намираме всеки член от прогресията. Сега можем да го перифразираме по следния начин: формулите ни показват, как да намерим $a (n)$ ‍ за всяко възможно $n$ ‍.

Провери знанията си

1) Намери $a (4)$ ‍ в редицата 3, 5, 7, ...

a (4) =

a (4)

е четвъртият член от редицата 3, 5, 7, ...

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3$ ‍		$5$ ‍		$7$ ‍		$9$ ‍
$a (1)$ ‍		$a (2)$ ‍		$a (3)$ ‍		$a (4)$ ‍

Следователно $a (4) = 9$ ‍.

2) Каква е стойността на $a (n - 1)$ ‍ за произволно число $n$ ‍?

Нека да видим няколко конкретни стойности за

n

$n$ ‍	$a (n - 1)$ ‍	Тълкуване на $a (n - 1)$ ‍
$2$ ‍	$a (2 - 1) = a (1)$ ‍	Първият член, който е членът пред $a (2)$ ‍
$3$ ‍	$a (3 - 1) = a (2)$ ‍	Вторият член, който е членът пред $a (3)$ ‍
$4$ ‍	$a (4 - 1) = a (3)$ ‍	Третият член, който е членът пред $a (4)$ ‍

Като цяло, виждаме, че $a (n - 1)$ ‍ е членът, който се намира преди $a (n)$ ‍.

Рекурентни формули на аритметични прогресии

Рекурентно зададените формули ни дават две важни сведения:

Първият член от редицата
Правилото за получаването на всеки член на редицата от члена преди него

Ето рекурентно зададената формула на редицата 3, 5, 7, ... заедно с тълкуване на всяка част.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow Първият член е три. \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow Прибавяме две към предходния член. \end{cases}

За да намерим петия член например, трябва да продължим редицата член по член:

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Страхотно! Тази формула ни дава същата редица, както описаната с 3, 5, 7, ...

Провери знанията си

Сега е твой ред да намериш членовете на редиците, като използваш рекурентно зададената им формула.

Точно както използвахме

a (n)

, за да представим

n^{-тия}

член от редицата 3, 5, 7, ..., можем да използваме други букви, за да представим други редици. Например можем да използваме

b (n)

c (n)

или

d (n)

3) Намери $b (4)$ ‍ в редицата, дадена от

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

Значението на тази формула може да бъде обяснено по следния начин:

Първият член е минус пет, а всеки друг член е предходният плюс девет.

За да намерим

b (4)

, трябва да продължим редицата член по член:

$b (n)$ ‍	$= b (n - 1) + 9$ ‍
$b (1)$ ‍			$= - 5$ ‍
$b (2)$ ‍	$= b (1) + 9$ ‍	$= - 5 + 9$ ‍	$= 4$ ‍
$b (3)$ ‍	$= b (2) + 9$ ‍	$= 4 + 9$ ‍	$= 13$ ‍
$b (4)$ ‍	$= b (3) + 9$ ‍	$= 13 + 9$ ‍	$= 22$ ‍

Следователно $b (4) = 22$ ‍.

3) Намери $c (3)$ ‍ в редицата, дадена от

{\begin{cases} c (1) = 20 \\ c (n) = c (n - 1) - 17 \end{cases}

c (3) =

Значението на тази формула може да бъде обяснено по следния начин:

Първият член е 20, а всеки друг член е предходният член минус 17.

За да намерим

c (3)

, трябва да продължим редицата член по член:

$c (n)$ ‍	$= c (n - 1) - 17$ ‍
$c (1)$ ‍			$= 20$ ‍
$c (2)$ ‍	$= c (1) - 17$ ‍	$= 20 - 17$ ‍	$= 3$ ‍
$c (3)$ ‍	$= c (2) - 17$ ‍	$= 3 - 17$ ‍	$= - 14$ ‍

Следователно $c (3) = - 14$ ‍.

5) Намери $d (5)$ ‍ в редицата, дадена от

{\begin{cases} d (1) = 2 \\ d (n) = d (n - 1) + 0, 4 \end{cases}

d (5) =

Значението на тази формула може да бъде обяснено по следния начин:

Първият член е две, а всеки друг член е предходният плюс 0,4.

За да намерим

d (5)

, трябва да продължим редицата член по член:

$d (n)$ ‍	$= d (n - 1) + 0, 4$ ‍
$d (1)$ ‍			$= 2$ ‍
$d (2)$ ‍	$= d (1) + 0, 4$ ‍	$= 2 + 0, 4$ ‍	$= 2, 4$ ‍
$d (3)$ ‍	$= d (2) + 0, 4$ ‍	$= 2, 4 + 0, 4$ ‍	$= 2, 8$ ‍
$d (4)$ ‍	$= d (3) + 0, 4$ ‍	$= 2, 8 + 0, 4$ ‍	$= 3, 2$ ‍
$d (5)$ ‍	$= d (4) + 0, 4$ ‍	$= 3, 2 + 0, 4$ ‍	$= 3, 6$ ‍

Следователно $d (5) = 3, 6$ ‍.

Явни формули на аритметични прогресии

Ето явна формула за задаване на 3, 5, 7, ...

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Тази формула ни позволява просто да въведем номера на члена, който търсим, за да получим неговата стойност.

Например, за да намерим петия член, трябва да заместим

n = 5

в явната формула.

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Каква изненада, получихме същия резултат като преди!

Провери знанията си

6) Намери $b (10)$ ‍ в редицата, дадена с $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b (10) =

7) Намери $c (8)$ ‍ в редицата, дадена от $c (n) = 20 - 17 (n - 1)$ ‍.

c (8) =

8) Намери $d (21)$ ‍ в редицата, дадена от $d (n) = 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍.

d (21) =

Редиците са функции

Обърни внимание, че формулите, които използвахме в този урок, действат като функции: Въвеждахме номер на члена

n

, а формулата ни даваше стойността на този член

a (n)

В действителност прогресиите са определени като функции. Обаче

n

не може да бъде всяко реално число. Няма такова нещо като минус петия член или 0,4-тия член на прогресията.

Това означава, че дефиниционното множество на редиците — което е множеството от всички възможни аргументи на функцията — се състои от положителните цели числа.

Забележка за означенията

Означаваме членовете, например четвъртия член, като

a (4)

, но в някои други източници понякога го пишат като

a_{4}

И двата записа могат да бъдат използвани. Ние предпочитаме

a (4)

, защото подчертава, че редиците са функции.

Въпрос за размисъл

9) Коя формула е по-подходяща за по-бързото намиране на 100-тния член на една аритметична прогресия?

За да намерим 100-тния член като използваме рекурентно зададената формула, ще трябва да продължим редицата член по член, докато не стигнем до 100. Това ще ни отнеме много дълго време!

За да намерим 100-тния член като използваме явно зададената формула, всичко, което трябва да направим, е да заместим

n = 100

във формулата и да изчислим. Това не отнема повече време от намирането на втория член или на 1000-ния член.

В заключение: по-удобна за намирането на 100-тния член от аритметичната прогресия е явно зададената формула.

Задача с повишена трудност

10) Явно зададената формула на аритметичната прогресия е

f (n) = 3 - 4 (n - 1)

Кой член от редицата е равен на -65?

Член номер

Поредността на члена е представена във формулата от

n

, а неговата стойност е представена от

f (n)

В този случай знаем стойността на

f (n)

и искаме да намерим

n

. Това изисква решаването на уравнение.

$\begin{aligned} f (n) & = 3 - 4 (n - 1) \\ - 65 & = 3 - 4 (n - 1) & Заместваме f (n) = - 65. \\ 4 (n - 1) & = 68 \\ n - 1 & = 17 \\ n & = 18 \end{aligned}$ ‍

В заключение членът, който е равен на -65, е членът, който е 18-ти по ред.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.