Решен пример: сбор от членовете на крайна геометрична прогресия (сигма запис)

Нека решим няколко примера, при които намираме сумите на крайни геометрични прогресии. Нека си припомним предишното видео, където получихме формулата, при която сумата от първите n на брой члена е равна на първия член по 1 минус частното на прогресията на степен n, цялото върху 1 минус частното на прогресията. Нека я приложим към тази сума на крайна геометрична прогресия ето тук. Какъв е първият член и какво е частното на прогресията? Колко е n? Можеш да го намериш и като разгледаш това тук, но заради този пример нека разложим това малко. Това ще бъде равно на 2 по 3 на степен 0, което е просто 2 плюс 2 по 3 на първа степен, плюс 2 по 3 на втора степен, мога да напиша там първа степен, плюс 2 по 3 на трета степен, като продължаваме чак до 2 по 3 на степен 99. Какъв е първият член? Колко е 'а'? 'а' ще бъде 2. Като ние го виждаме при всички тези членове тук. 'а' ще бъде 2. Колко е r? Когато k се увеличава с 1, умножаваме всеки следващ член отново по 3. Следователно 3 е частното на прогресията. Това тук е r. Нека се уверя, че това е 'а'. Колко ще бъде n? Може да се изкушиш да кажеш, че тъй като стигаме до k = 99, може би n е 99, но трябва да се сетим, че започваме от k = 0. Следователно тук всъщност има 100 члена. Забележи, че когато k = 0, това е първият член, когато k = 1, това е вторият член, когато k = 2, това е третият член, когато k = 3, това е четвъртият член, когато k = 99, това е 100-ият член. Всъщност ние искаме да намерим S от 100. Нека го запишем, S от 100, за сумата на тази геометрична прогресия ще бъде равно на 2 по (1 минус 3 на степен 100), цялото върху (1 минус 3). Като можем да го опростим. Искам да кажа, че на този етап имаме работа със смятане, но тук долу ще имаме -2, така че трябва да разделим на -2, така че това е просто отрицателно. Имаме минус (1 минус 3 на степен 100), това е равно на 3 на степен 100, 3 на степен 100 минус 1. И сме готови.