Пресечни точки на графиките на функциите y=sin(x) и y=cos(x)

Питат ни в колко точки графиката у равно на синус тита и у равно на косинус тита се пресичат за тита между 0 и 2 пи. И това е 0 < от или равно на тита, което е по-малко от или равно на 2 пи, така че ще включим 0 и 2 пи във възможните стойности за тита. За да направим това направих таблица за тита, косинус тита и синус тита, и можем да използваме единичната окръжност за, надявам се, да начертаем набързо графиките на у равно на синус тита и у равно на косинус тита и после да помислим колко пъти се пресичат и може би къде точно се пресичат. Нека започнем. Първо, нека поясня, това е единична окръжност. Това е оста х, това е оста у. Тук ще начертаем тези две графики. Тази ос ще означим с у и тя ще е функция на тита, не на х, която ще нанасяме на хоризонталната ос. Нека първо помислим какво се случва, когато тита е равна на 0. Когато тита е равно на 0, тогава си в тази точка тук, нека направя това в различен цвят, тогава си в тази точка тук на единичната окръжност и какви координати има тя? Това е точката (1; 0). Въз основа на това, колко е косинус тита, когато тита е равна на 0? Косинус тита е 1 и синус тита ще е 0. Това е оста х при точката на пресичане с единичната окръжност, извинявай, това е х координатата при точката на пресичане с единичната окръжност, това е у координатата. Нека продължим. Какво да кажем за пи върху 2? Пи върху 2, тогава сме ето тук. Каква е тази координата? Това сега е х = 0, у = 1. Въз основа на това, косинус тита е 0, а колко е синус от тита? Той ще е 1. Той е у координатата. Нека стигнем до пи. Сега сме в тази точка на единичната окръжност. Каква е координатата? Това е (–1; 0), така че колко е косинус тита? Това тук е координатата х, която е –1. И синус тита ще е у координатата, която е 0. Нека продължим. Сега сме тук при 3 пи върху 2. Стигнахме до 3 пи върху 2. Какви са тези координати? Това е (0; –1). Косинус тита е х координатата, така че косинус тита ще е 0. Колко ще е синус тита? Той ще е –1. И после се връщаме до 2 пи, което означава, че правим пълна обиколка около окръжността. Обиколихме я цялата и сме обратно в тази точка тук. Координатата е точно същата, както когато ъгълът беше равен на 0 радиана. Тоест колко е косинус тита? Това е 1 и синус тита е 0. И от това можем да направим груба скица на графиката и да помислим къде може да се пресичат. Нека първо се заемем с косинус тита. Когато тита е 0 – нека отбележа това – това ще е когато у = 1, а това е когато у = –1. у равно на косинус тита... ще начертая графика, да видим, тита е равна на 0, косинус тита е равен на 1. Косинус тита е равен на 1. Когато тита е равна на пи/2, косинус тита е 0. Когато тита е равна на пи, косинус тита е –1. Когато тита е равна на 3 пи върху 2, косинус тита е равен на 0. Това е това ето тук. И, после, накрая, когато тита е 2 пи, косинус тита отново е 1. И кривата ще изглежда подобно на тази, това е най-добрият чертеж, който мога да направя. Нека я направя хубава гладка крива. Ще изглежда подобно на това. Видът на тези криви трябва да изглежда донякъде познат в този момент, трябва да изглежда нещо подобно на това. Това е графиката на у равно на косинус тита. Нека направим същото нещо за синус тита. Когато тита е равна на 0, синус тита е 0. Когато тита е пи върху 2, синус тита е 1. Когато тита е равна на пи, синус тита е 0. Когато тита е равна на 3 пи върху 2, синус тита е –1. Когато тита е равна на 2 пи, синус тита е равен на 0. И графиката на синус тита ще изглежда нещо като... това е най-добрият ми опит в чертането ѝ – ще изглежда като това. Можем визуално да помислим за въпроса. "При колко точки графиките на у равно на синус от тита и у равно на косинус тита се пресичат..." за този диапазон за тита, за тита между 0 и 2пи, включително тези две точки? Просто поглеждаш графиката и виждаш, че има две точки на пресичане, тази точка тук и тази точка тук, точно между 0 и 2пи. Това са циклични графики. Ако продължим, те ще продължават да се пресичат, но точно при това 2 пи, точно при този 2 пи интервал ще получиш 2 точки на пресичане. Нека помислим какви са те, изглежда са доста близко между 0 и пи върху 2 и точно между пи и 3 пи върху 2. Нека погледнем единичната окръжност и да видим дали можем да открием какви са тези стойности. Да видим, изглежда това е пи върху 4. Нека се уверим в това. Да помислим какви са тези стойности при пи върху 4. Пи върху 4 е този ъгъл или това е горната му страна, това е пи върху 4. Пи върху 4 е точно същото нещо като 45-градусов ъгъл. Нека направим пи върху 4 ето тук. Трябва да открием каква е тази точка, какви са координатите. Нека направя това правоъгълен триъгълник. Това е правоъгълен триъгълник. Какво знаем за този правоъгълен триъгълник? Ще го начертая ето тук, за да го направя по-ясен. Това е много типичен вид правоъгълен триъгълник, така че е добре да го познаваме. Ще го начертая колкото мога по-добре. Знаем, че това е правоъгълен триъгълник. Знаем, че това е 45 градуса. Каква е дължината на хипотенузата? Това е единична окръжност, има радиус 1, така че дължината на хипотенузата тук е 1. И какво знаем за този ъгъл ето тук. Знаем, че той също трябва да е 45 градуса, понеже всички тези ъгли трябва да дадат сбор от 180. И след като тези два ъгъла са равни, знаем, че тези две страни ще са равни. И после можем да използваме питагоровата теорема, за да помислим за дължината на тези страни. Като използваме питагоровата теорема и знаем, че тези две страни са равни, какво ще получим за дължината на тези страни? Нека кажем, че тази има дължина а, тогава тази също ще има дължина а и можем да използваме питагоровата теорема. Можем да кажем, че а^2 + а^2 е равно на хипотенузата на квадрат, равно е на 1. Или 2а^2 = 1. а^2 = 1/2. Взимаме корен квадратен от двете страни, а е равно на корен квадратен от 1/2, което е равно на корен квадратен от 1, което е 1, върху корен квадратен от 2. Можем да рационализираме знаменателя тук, като умножим по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2, което ни дава, че а е равно на... в числителя имаме корен квадратен от 2, а в знаменателя имаме корен квадратен от 2 по корен квадратен от 2, което е 2. Тази дължина е корен квадратен от 2 върху 2, а тази дължина е същата. Тоест тази дължина е корен квадратен от 2 върху 2 и тази височина тук също е корен квадратен от 2 върху 2. Въз основна на това какви са координатите на тази точка? Тя е корен квадратен от 2 върху 2 надясно в положителна посока, тоест х е равно на корен квадратен от 2 върху 2, а у е корен квадратен от 2 върху 2 в посока нагоре, във вертикална посока, в положителна вертикална посока, тоест тя също е корен квадратен от 2 върху 2. Косинус тита е просто х координатата, тоест той е корен квадратен от 2 върху 2. Синус тита е просто у координатата. Незабавно виждаш, че те в този момент наистина са равни. В тази точка и двете са равни на корен квадратен от 2 върху 2. А какво да кажем за тази точка тук, която изглежда е точно между пи и 3 пи върху 2? Това е пи, това е 3 пи върху 2, точно ето тук. Това е друго пи върху 4 + пи, тоест пи + пи + 4 е същото нещо като 4 пи + пи + пи/4. Това е ъгълът 5пи/4. Това е 5пи/4. Това е равно на 5пи/4. Това се опитваме да намерим. Какви са стойностите на тези функции при тита равна на 5пи/4? Има множество начини да помислим за това. Можеш дори да използваш малко геометрия и да кажеш, че ако това тук е 45-градусов ъгъл, тогава това тук също е 45-градусов ъгъл. Можеш да кажеш, че референтният ъгъл, що се отнася до градуси, е 45 градуса. И можем да направим нещо много подобно. Можем да начертаем правоъгълен триъгълник. Знаем, че хипотенузата е 1. Знаем, че ако това е прав ъгъл, това е 45 градуса. Ако това е 45 градуса, тогава това също е 45 градуса и имаме триъгълник, който е много подобен – тези всъщност са еднакви триъгълници. Хипотенузата е 1, ъглите са 45 - 45 - 90, знаем, че дължината на тази страна е корен квадратен от 2 върху 2, а дължината на тази страна е корен квадратен от 2 върху 2 – същата логика използвахме тук. Въз основа на това, какви са координатите на тази точка? Нека помислим за стойността на х. Тя е корен квадратен от 2 върху 2 в отрицателна посока. Разстоянието е корен квадратен от 2 върху две наляво от началото на координатната система, така че това е отрицателен корен квадратен от 2 върху 2. Тази точка тук на оста е отрицателен корен квадратен от 2 върху 2. Какво да кажем за стойността на у? Разстоянието надолу е корен квадратен от 2 върху 2, в посока надолу от началната точка на координатната система, така че това също е отрицателен корен квадратен от 2 върху 2. Косинус тита е отрицателен корен квадратен от 2 върху 2 и синус тита също е отрицателен корен квадратен от 2 върху 2. И виждаме, че наистина имаме една и съща стойност за косинус тита и синус тита тук. Изглежда и двете в тази точка са равни на отрицателен корен квадратен от 2 върху 2.