If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:7:54

Стойности на тригонометричните функции от някои специални ъгли

Видео транскрипция

Имаме единична окръжност с център точка А, а точка В лежи на окръжността. От точка В до точка D е спуснат перпендикуляр, като точка D лежи на положителната част на оста х (Ох). Тези точки оформят триъгълник ABD, за който знаем, че ъгъл BAD е с мярка π върху 4 радиана. В това видео искам да използвам нашите знания по тригонометрия и знанията ни за триъгълниците, за да намеря няколко неща. Първото нещо, което искам да намеря, е мярката в радиани на ъгъл ABD. Нека първо да направим това и после ще говорим за останалите неща, за които искам да помислим. Приемаме, че спря видеото и опита да намериш отговора самостоятелно. Да помислим колко ще бъде ъгъл ABD. Знаем два от ъглите в триъгълника, така че би трябвало да можем да намерим третия. Може би звучи малко непознато – свикнали сме да казваме, че сборът от вътрешните ъгли в един триъгълник е 180 градуса, но сега мислим в радиани. Следователно можем да кажем, че сборът от ъглите в един триъгълник е... Вместо да кажем 180 градуса, казваме π радиана, което е същото. Следователно сборът от този плюс този плюс този ъгъл ще бъде π. Следователно нека кажем просто, че мярката на ъгъл ABD в радиани, плюс π върху 4, плюс... това е прав ъгъл; На колко ще бъде равен той в радиани? Един прав ъгъл в радиани – ъгъл от 90 градуса в радиани – е равен на π върху 2 радиана. Следователно – плюс π върху 2. Когато вземем сбора от вътрешните ъгли в триъгълника, те ще се допълват до π радиана. Което, разбира се, е същото като 180 градуса. Сега вече можем да намерим мярката на ъгъл ABD. Мярката на ъгъл ABD е равна на π минус π върху 2, минус π върху 4. Току-що извадих тези двете от двете страни на израза. Става равно на... Можем да сложим общ знаменател 4 и става 4π върху 4, това е минус 2π върху 4, а това, разбира се, е минус π върху 4. Следователно 4 минус 2 минус 1 ни дава 1. Следователно e равно на π върху 4. Mярката на ъгъл ABD е същата като мярката на ъгъл BAD – тя е π върху 4. Следователно този ъгъл тук е π върху 4. С какво ни помага това? Ако знаем, че това е π върху 4, това също е π върху 4 радиана. Още веднъж – знаем, че това е единична окръжност. Следователно знаем дължината на отсечката АВ – това е радиусът на окръжност с дължина 1. Какво още знаем за този триъгълник? Можем ли да намерим дължината на отсечката AD и дължината на отсечката DB? Разбира се, защото имаме два ъгъла при основата с еднаква големина, което означава, че съответните страни също ще бъдат с еднаква дължина. Това означава, че тази страна ще бъде равна на тази страна. Мога да обърна чертежа така, че да стане малко по-видимо. Ако го обърнем, може би не напълно, но, ако го начертаем ето така... Можем да начертаем триъгълника да изглежда горе-долу така. Всъщност искам да го начертая като прав ъгъл. Ето го моят триъгълник, който изглежда ето така. Ако това е D, това – В, а това – А, това е нашият прав ъгъл. Това е π върху 4 радиана, това също е π върху 4 радиана. Когато двата ъгъла при основата са равни, знаем, че триъгълникът е равнобедрен. Тъй като не всички ъгли са еднакви, триъгълникът не е равностранен. Щеше да бъде равностранен, ако всички ъгли бяха еднакви. Това е равнобедрен, неравностранен триъгълник. Ако ъглите при основата са еднакви, знаем, че и съответните страни ще бъдат еднакви. Тези две страни са равни, значи това е равнобедрен триъгълник. Как това ни помага да намерим дължините на страните? Ако приемем, че тази страна е с дължина х, това означава, че и тази е с дължина х. Ако тази страна е с дължина х, то и тази е с дължина х. Сега можем да използваме питагоровата теорема. Можем да кажем, че това х на квадрат плюс това х на квадрат е равно на хипотенузата на квадрат – равно на 1 на квадрат. Или можем да запишем, че 2х на квадрат е равно на 1, или че х на квадрат е равно на 1 върху 2, или, взимайки корен квадратен на двете страни, получаваме х равно на 1 върху корен квадратен от 2. Много хора не обичат да имат корен в знаменателя, не обичат да имат рационално число в знаменателя. Затова можем да рационализираме знаменателя като умножим по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2, което ще бъде, да видим... В числителя ще имаме корен квадратен от 2, а в знаменателя ще имаме корен квадратен от 2 по корен квадратен от 2, което е равно просто на 2. Следователно вече успяхме да намерим няколко интересни неща. Успяхме да намерим ъгъл ABD в радиани. Намерихме дължината на отсечката AD, както и дължината на отсечката BD. А сега искаме да намерим на колко са равни синус, косинус и тангенс от π върху 4 радиана, предвид цялата работа, която свършихме. Да помислим първо какво е синус? Ще го запишем в оранжево. Предвид цялата работа, която свършихме, колко е синус от π върху 4 радиана? Отново те съветвам да спреш видеото на пауза, да помислиш за определението за единична окръжност при тригонометричните функции и да помислиш какъв е отговорът. Определението за единична окръжност функциите... Едното рамо на този ъгъл, π върху 4 радиана, лежи върху положителната част на Ох. А координатите х и у на точката, в която горното му рамо пресича единичната окръжност, определят косинус и синус от този ъгъл. Следователно косинус от π върху 4 радиана ще бъде координатата х на тази точка, а синус от π върху 4 радиана е координатата у. Следователно каква ще е координатата у, ако искаме да имаме π върху 4? Тя ще бъде равна на ето тази дължина тук, която е равна на тази дължина тук, която е дължината х, равна на корен квадратен от 2 върху 2. А колко е косинус от π върху 4? Отново те съветвам да спреш видеото на пауза и да помислиш. Какво представлява тази координата х? Координатата х е това разстояние тук, което също ще бъде равно на х, което е равно на корен квадратен от 2 върху 2. А колко ще бъде тангенс от π върху 4? Тангенс от π върху 4 е синус от π върху 4 върху косинус от π върху 4. Тогава това и това са едно и също нещо. И двете са равни на квадратен корен от 2 върху 2. Ще имаме корен квадратен от 2 върху 2, делено на 2 върху 2, което ще ни даде просто 1. В това има смисъл и защото, спомни си, тангенс от този ъгъл е равен на наклона (ъгловия коефициент) на тази права. Виждаме наклона – за всяко х ние се придвижваме в хоризонтална посока и на разстояние х нагоре. Изменението в у върху изменението в х, всъщност е равно на х върху х, което е равно на 1.