Решаване на квадратни уравнения: комплексни решения

От нас искат: "Реши 2х на квадрат плюс 5 е равно на 6х." Тук имаме квадратно уравнение. Но просто за да го направим във форма, с която сме по-запознати, нека опитаме да го направим в стандартен вид. Стандартен вид, разбира се, е видът: ах на квадрат плюс bx плюс с е равно на 0. За да направим това, трябва да вземем това 6х и да се отървем от него от дясната страна. Трябва в дясната страна да имаме само 0. За да направим това, нека просто извадим 6х от двете страни на това уравнение. Лявата ни страна става 2х на квадрат минус 6х плюс 5 е равно на – и после в дясната страна, тези двете се унищожават, остава ни само 0. Има много начини да решим това. Можем да опитаме да го разложим на множители. Мога да разделя двете страни на 2. Ако разделя двете страни на 2, ще получа коефициенти цели числа пред членовете х квадрат и х, но ще получа 5/2 за константата. Така че това не е от лесните за разлагане на множители неща. Можем да завършим квадрата или можем да приложим формулата за намиране корените на квадратно увравнение. Нека в този сценарий направим това. Формулата за корените ни казва, че ако имаме нещо в стандартен вид като това, корените му ще са -b плюс или минус – това ни дава два корена ето тук – плюс или минус корен квадратен от b на квадрат минус 4ас върху 2а. Нека в тази ситуация приложим това. -b – това тук е b. -b е минус -6. Това ще е +6, плюс или минус корен квадратен от b на квадрат... -6 на квадрат е 36, минус 4 по а – което е 2 – по 2 по с, което е 5. По 5. Всичко това върху 2 по а; а е 2. Тоест 2 по 2 е 4. Това ще е равно на 6 плюс или минус корен квадратен от 36 – нека намеря това. 36 минус – това е 4 по 2 по 5. Това тук е 40. Тоест 36 минус 40. Вече може да се чудиш какво ще стане тук. Всичко това върху 4. Или това е равно на 6 плюс или минус корен квадратен от -4. 36 минус 40 е -4, върху 4. Може да си кажеш: "-4, ако взема корен квадратен, ще получа имагинерно число." И ще познаеш. Единствените два корена на това квадратично уравнение тук ще се окажат комплексни, понеже когато изчислим това, получаваме имагинерно число. Тук ще получим две комплексни числа, когато вземем положителната и отрицателната версия на този корен. Нека направим това. Корен квадратен от -4, това е същото нещо като 2i. Знаем, че е същото нещо като 2i, или може да искаш да си го представиш така. Корен квадратен от -4 е същото като корен квадратен от -1 по корен квадратен от 4, което е същото нещо. Мога дори да го направя... – това е същото нещо като -1 по 4 под радикала, което е същото нещо като корен квадратен от -1 по корен квадратен от 4. Положителният корен квадратен от -1 е i по, положителния корен квадратен от 4 е, 2. Тоест това е 2i или i по 2. Това ето тук ще е 2i. Остава ни х равно на 6 плюс или минус 2i, цялото върху 4. Ако опростим това, можем да разделим числителя и знаменателя на 2. Това ще е същото нещо като 3 плюс или минус i върху 2. Или, ако искаш да ги запишем като две отделни комплексни числа, можеш да запишеш това като 3 плюс i, цялото върху 2, или 3/2 плюс 1/2i. Това е ако взема положителната версия на i. Или можем да гледаме на това като 3/2 минус 1/2i. Това и тези двете тук са еквивалентни. Това са двата корена. Сега искам да се уверя, че тези вършат работа. Да се уверя, че тези два корена вършат работа. Този мога да преобразувам като 3 плюс i, върху 2. Тези са еквивалентни. Можеш да видиш, че това е просто разделяне и на двете тези на 2. Или ако разделиш 1/2 на части, можеш да го направиш и по двата начина в този израз. Това тук ще е 3 минус i, върху 2. Или можеш да преминеш директно от това. Това е 3 плюс или минус i, върху 2. Тоест 3 плюс i върху 2. Или 3 минус i върху 2. Това и това или това и това. Всички тези са еднакви представяния на двата корена. Но да видим дали вършат работа. Първо ще опитам с това ето тук. Ще стане малко трудно, понеже трябва да го повдигнем на квадрат и т.н. Но да видим дали можем да го направим. Искаме да вземем 2 по тази стойност на квадрат. Тоест 2 по (3 плюс i, цялото върху 2) на квадрат, плюс 5. Искаме да се уверим, че това е същото нещо като 6 по тази стойност – като 6 по (3 плюс i, цялото върху 2). На колко е равно 3 плюс i на квадрат? Това е 2 по – нека просто повдигна това на квадрат. 3 плюс i това ще е 3 на квадрат, което е 9, плюс 2 по произведението на 3 и i. Тоест, 3 по i е 3i, по 2, е 6i. Тоест плюс 6i. Ако това не ти изглежда логично, те съветвам да опиташ да го умножиш или с разпределителното свойство, или да приложиш FOIL и ще получиш средния член. Ще получиш два пъти 3i. Когато ги събереш получаваш 6i. А после плюс i на квадрат и i на квадрат е -1. Минус 1. Всичко това върху 4, плюс 5, е равно на – ако разделиш числителя и знаменателя на 2, получаваш 3 тук и 1 тук. 3 по (3 + i) е равно на 9 + 3i. Искаме да опростим това, за да спестим малко място на екрана. 9 минус 1 е 8. Ако се отърва от това, това е просто 8 плюс 6i. Можем да разделим числителя и знаменателя ето тук на 2. Числителят ще стане 4 плюс 3i, ако разделим на 2, а знаменателят тук просто ще е 2. Това 2 и това 2 ще се съкратят. Отляво ни остава 4 плюс 3i плюс 5. Това трябва да е равно на 9 плюс 3i. Можеш да видиш, че имаме 3i от двете страни на уравнението. Имаме 4 плюс 5, което е равно точно на 9. Това решение, 3 плюс i, определено върши работа. Сега нека опитаме с 3 минус i. Отново, просто гледаме първоначалното уравнение, 2х на квадрат плюс 5 е равно на 6х. Нека го запиша ето тук. Нека пренапиша първоначалното уравнение. Имаме 2 по х на квадрат плюс 5 е равно на 6х. Сега ще изпробваме този корен, за да се уверим, че върши работа. Имаме 2 по (3 минус i, цялото върху 2) на квадрат, плюс 5, трябва да е равно на 6 пъти по това. 6 по (3 минус i, цялото върху 2). Отново, малко е особено. Но докато изпробваме всичко и се фокусираме, трябва да можем да получим правилните резултати. Така, (3 минус i) на квадрат. (3 минус i) по (3 минус i), което е – и можеш да упражниш взимането на корени от двучлени или комплексни числа, в този случай...– това ще е 9, това е 3 на квадрат, а после 3 по -i е -3i. После ще имаш две от тези. Така че -6i. -i на квадрат е също -1. Това е -1 по -1 по i по i. Това също е -1. -i на квадрат също е равно на -1. -i също е друг корен квадратен. Не положителния корен квадратен, но един от квадратните корени на -1. Сега ще имаме +1, понеже – о, извинявай, ще имаме -1. Понеже това е -i на квадрат, което е -1. Всичко това върху 4. Всичко това върху – това е 2 на квадрат, което е 4. По 2 ето тук, плюс 5, трябва да е равно на – преди дори да го умножа, можем да разделим числителя и знаменателя на 2. Тоест 6, делено на 2, е 3. 2, делено на 2, е 1. 3 по 3 е 9. 3 по -i е -3i. Ако го опростим още малко, 9 минус 1 ще е – ще направя това в синьо. 9 минус 1 ще е 8. Имаме 8 минус 6i. После, ако разделим (8 минус 6i) на 2 и 4 на 2, в числителя ще получим 4 минус 3i, а в знаменателя ще получим 2. Разделихме числителя и знаменателя на 2. После имаме една 2-ка тук. Имаме 2 в знаменателя. Тези двете ще се съкратят. Този израз ето тук се опростява до 4 минус 3i. После имаме +5 трябва да е равно на 9 минус 3i. Имаме -3i вляво, -3i вдясно. Имаме 4 плюс 5. Можем да пресметнем. Тази лява страна е 9 минус 3i, което е същото комплексно число, като това, което имаме в дясната страна, 9 минус 3i. Така че и това ни върши работа. То също е корен. Уверихме се, че и двата от тези комплексни корена удовлетворяват това квадратно уравнение.