Основно съдържание
Алгебра 2
Курс: Алгебра 2 > Раздел 2
Урок 2: Въведение в комплексни числаКласифициране на комплексните числа
Сал най-напред опростява някои изрази, съдържащи комплексни числа. След това обяснява как да определим към коя категория числа спадат: реални, имагинерни или комплексни. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
След като вече познаваме
имагинерната единица i, нека се упражним в опростяване
на изрази с нейно участие като този тук. 2 + 3i + 7i^2 + 5i^3 + 9i^4. Приканвам те да оставиш видеото
на пауза и да се опиташ да опростиш израза самостоятелно. Както виждаш, тук имаме
различни степени на i. Това може да се разглежда
като i на първа степен. Тук имаме i на втора степен. Вече знаем, че i на квадрат по определение е
равно на –1. После имаме i на трета степен. Това е равно на i по i^2,
или на –i. Вече видяхме това,
когато въведохме понятието за имагинерно число,
но ще го направя пак. i на четвърта степен е
i по третата степен горе, което е равно на
–i по i. Това е i на трета степен,
умножено по i. Знаем, че i по i е –1. Тук имаме –1 по –1,
което е равно на 1. Можем да представим
целия този израз като 2 + 3i + 7 по i^2, заместваме с –1, тук е 7 по –1, значи минус 7, после имаме 5 по i на трета степен, i на трета е –i, тук заместваме с –i, това става минус 5i Накрая това i на четвърта степен
е просто 1, значи това се опростява до 9i. Как да опростим израза още? Имаме няколко събираеми,
които не са имагинерни. Те са реални числа. Например имаме
реалното число 2. Минус 7 е реално число. Също и 9 е реално число. Можем просто да ги съберем. 2 + (–7) = –5, –5 + 9 = 4, сборът на реалните числа е 4. Остават ни тези
имагинерни числа. 3 по i минус 5 по i, ако имаме 3 по нещо и извадим от него
5 по същото нещо, ще получим –2
по това нещо. Друг начин на разсъждение
е да използваме коефициентите. 3 – 5 е равно на –2. Значи 3i минус 5i е равно на –2i. Може да попиташ
дали има още накъде да опростим? Всъщност няма как. Това тук е реално число, числото 4 е
познат тип число, с каквито сме свикнали
да работим досега. Докато –2i е имагинерно число. Тук приемаме
4 – 2i, целия този израз, като нов тип число. Това число има
реална част и имагинерна част. Числата от такъв тип
наричаме комплексни числа. Това е комплексно число. Защо комплексно? Защото е съставено от реална
и имагинерна част. Може да попиташ
дали всяко реално число не може да се приеме за комплексно? Например реалното число 3, не мога ли да го представя
като 3 + 0i? Въпросът ти е правилен. Всяко реално число
е също и комплексно число. Можеш да разглеждаш това
като комплексно число. Всъщност множеството
на реалните числа е подмножество
на комплексните числа. По същия начин
имагинерните числа са подмножество
на комплексните. Например можеш да представиш i като 0 + i,
където 0 е реалната част. Имагинерните числа
са подмножество на комплексните. Реалните числа също
са подмножество на комплексните. Множеството на комплексните числа
освен тях съдържа и всички възможни техни
сборове и разлики, или всички числа, които имат
както реална, така и имагинерна част.