Основно съдържание

Алгебра 2

Курс: Алгебра 2 > Раздел 2

Урок 1: Имагинерната единица i

Въведение към имагинерни числа

Научи какво представлява имагинерната единица i, какво са имагинерните числа и квадратните корени от отрицателни числа.

В обучението си по математика може би забеляза, че някои квадратни уравнения нямат никакви решения реални числа.

Например ако можеш опитай, но никога няма да успееш да намериш решение, което да е реално число на уравнението x, squared, equals, minus, 1. Това е така, защото е невъзможно да повдигнеш на квадрат реално число и да получиш отрицателно число!

Обаче решение на уравнението x, squared, equals, minus, 1 не съществува в една нова числова система, наречена система от комплексни числа.

Имагинерната единица

Гръбнакът на тази нова система е имагинерната единица или числото i.

Следното важи за числото i:

i, equals, square root of, minus, 1, end square root
i, squared, equals, minus, 1

Второто свойство ни показва, че числото i е наистина решение на уравнението x, squared, equals, minus, 1. Предното нерешено уравнение сега може да се реши с помощта на имагинерната единица!

Чисто имагинерни числа

Числото i по никакъв начин не е само! Намирайки кратните на тази имагинерна единица, можем да създадем безкрайно много чисти имагинерни числа.

Например 3, i, i, square root of, 5, end square root и minus, 12, i са всичките примери за чисти имагинерни числа или числа от вида b, i, където b е ненулево реално число.

Изчисляването на квадратите от тези числа хвърлят някаква светлина върху въпроса, как са свързани с реалните числа. Нека изследваме това с повдигането на квадрат на числото 3, i. Характеристиките на имагинерните степенни показатели остават еднакви, така че можем да повдигнем на квадрат 3, i точно както си го представяме.

$\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}$

Използвайки факта, че i, squared, equals, minus, 1, можем да опростим това допълнително, както е показано.

$\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}$

Фактът, че left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 означава, че 3, i е квадратен корен от minus, 9.

Провери знанията си

Колко е left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared?

[Имам нужда от помощ!]

Кое от следните е корен квадратен от minus, 16?

[Имам нужда от помощ!]

По този начин виждаме, че чисто имагинерните числа са квадратни корени от отрицателни числа!

Опростяване на чисто имагинерни числа

Таблицата по-долу показва примери за чисто имагинерни числа в не опростен и в опростен вид.

Не опростен вид	Опростен вид
square root of, minus, 9, end square root	3, i
square root of, minus, 5, end square root	i, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square root	minus, 12, i

Но как опростяваме тези чисто имагинерни числа?

Нека разгледаме отблизо първия пример и видим дали можем да го разберем в процеса на опростяването.

Първоначална равностойност	Процес на разсъждения
$\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}$	Квадратният корен от minus, 9 е имагинерно число. Квадратният корен от 9 е 3, така че корен квадратен от минус 9 е start text, 3, end text имагинерни единици или 3, i.

Следното свойство обяснява по-горния "процес на разсъждения" в математически контекст.

За a, is greater than, 0, square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root

Ако свържем всичко с това, което вече знаем за опростяването на числа под корен, можем да опростим всички чисто имагинерни числа. Нека разгледаме един пример.

Пример

Опрости square root of, minus, 18, end square root.

Решение

Нека първо обърнем внимание, че square root of, minus, 18, end square root е имагинерно число, тъй като то е корен квадратен от отрицателно число. Следователно можем да започнем като напишем square root of, minus, 18, end square root като i, square root of, 18, end square root.

След това нека опростим square root of, 18, end square root, като използваме това, което вече знаем за опростяването на числа под корен.

Решението е показано по-долу.

\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{За $a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ е делител точен квадрат на $18$}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ когато } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Умножението е комутативно}}} \end{aligned}

От тук следва, че square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

[Все още съм объркан. Искам да видя друг пример.]

Нека се упражним с няколко задачи

Задача 1

Опрости square root of, minus, 25, end square root.

[Имам нужда от помощ!]

Задача 2

Опрости square root of, minus, 10, end square root.

[Имам нужда от помощ!]

Задача 3

Опрости square root of, minus, 24, end square root.

[Имам нужда от помощ!]

Защо все пак има имагинерни числа?

Отговорът е прост. Имагинерната единица i ни позволява да намерим решенията на много уравнения, коти нямат решения реални числа.

Това може да изглежда странно, но всъщност е много често използвано за уравнения, които са не решими в една числова система, но решими в друга, по-обща числова система.

Ето няколко примера с които може да си по-запознат.

Само с броимите числа не можем да решим x, plus, 8, equals, 1; за това ни трябват целите числа!
Само с целите числа не можем да решим 3, x, minus, 1, equals, 0; за това ни трябват рационални числа!
Само с рационални числа не можем да решим x, squared, equals, 2. Въведи ирационалните числа и системата с реални числа!

Така че само с реалните числа не можем да решим x, squared, equals, minus, 1. За това ни трябват имагинерни числа!

Като продължиш да учиш математика, ще започнеш да виждаш важността на тези числа.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.