Основно съдържание

Алгебра 2

Курс: Алгебра 2 > Раздел 2

Урок 1: Имагинерната единица i

Степенуване на имагинерни числа

Научи как да опростиш произволна степен на имагинерната единица i. Например опрости i²⁷ като -i.

Знаем, че i, equals, square root of, minus, 1, end square root и i, squared, equals, minus, 1.

Но какво да кажем за i, cubed и i, start superscript, 4, end superscript? В тези примери имагинерната единица i е повдигната на степен други цели числа. Как можем да ги изчислим?

Пресмятане на i, cubed и i, start superscript, 4, end superscript

Свойствата на степените могат да са ни от помощ тук! Всъщност, когато изчисляваме степените на i, можем да приложим свойствата, за които знаем, че важат в множеството на реалните числа, стига степенните показатели да са цели числа.

Имайки предвид това, нека намерим i, cubed и i, start superscript, 4, end superscript.

Знаем, че i, cubed, equals, i, squared, dot, i. Но тъй като i, squared, equals, minus, 1, виждаме че:

$\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}$

Подобно на това i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. Отново като използваме факта, че i, squared, equals, minus, 1, имаме следното:

$\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}$

Още степени на i

Нека продължим! Да намерим следващите 4 степени на i, като използваме подобен метод.

$\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{Тъй като $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{Тъй като $i^4=1$ и $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{Тъй като $i^4=1$ и $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{Тъй като $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}$

Резултатите са обобщени в таблицата.

i, start superscript, 1, end superscript	i, squared	i, cubed	i, start superscript, 4, end superscript	i, start superscript, 5, end superscript	i, start superscript, 6, end superscript	i, start superscript, 7, end superscript	i, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10	start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10

Един възникващ модел

От таблицата става ясно, че степените на i приемат следната поредица от стойности: start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab и start color #e07d10, 1, end color #e07d10.

Като използваме този модел, можем ли да намерим i, start superscript, 20, end superscript? Да опитаме!

Следният списък показва първите 20 числа, чиито стойности представляват повтаряща се последователност.

\quad

start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10

Според тази логика i, start superscript, 20, end superscript трябва да бъде равно на start color #e07d10, 1, end color #e07d10. Нека видим дали можем да я подкрепим, като използваме степените. Не забравяй, че тук можем да използваме свойствата на степените, точно както при реалните числа!

$\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{Опростяване}}}\end{aligned}$

И по двата начина виждаме, че i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

По-големи степени на i

Да предположим, че сега искаме да намерим i, start superscript, 138, end superscript. Можем да изброим редицата start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... чак до 138, start superscript, start text, negative, и, я, end text, end superscript член, но това ще отнеме твърде много време!

Забележи обаче, че i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1 и т.н. или с други думи i, повдигнато на степен кратна на 4, е 1.

Можем да използваме този факт заедно със свойствата на степените, за да опростим i, start superscript, 138, end superscript.

Пример

Опрости i, start superscript, 138, end superscript.

Решение

Въпреки че 138 не е кратно на 4, числото 136 е! Нека използваме това, за да опростим i, start superscript, 138, end superscript.

$\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}$

Следователно i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.

Сега може би ще попиташ защо избираме да представим i, start superscript, 138, end superscript като i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared.

Ако оригиналният степенен показател не е кратен на 4, тогава намирането на най-близкото кратно на 4, което е по-малко от него, ни позволява да опростим степента надолу до i, i, squared или i, cubed, просто като използваме факта, че i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1.