i като положителния корен от -1

В математиката можеш да се сблъскаш с хора, които твърдят, че е грешно да се определя, i като квадратен корен от -1. Ако ги питаш защо според тях е грешно, те ще изведат такава логика, която изглежда достоверна. По тяхната логика се започва от -1. По определение знаем, че -1 е равно на i по i. Дотук всичко изглежда ясно. После казват, нека предположим, че е така тогава можем да заместим всяко i с корен от -1. Ще са прави. Това ще е еквивалентно на -1 равно на корен от -1 по корен от -1. После прилагат основните свойства на квадратния корен, според които корен от (а по b) е равно на корен от а по корен от b. Следва, че корен квадратен от а по корен квадратен от b е равно на корен квадратен от (a по b). На базата на това свойство казват, че това отдясно е равно на корен квадратен от (-1 по -1). Корен квадратен от произведението на две числа е равно на произведението на техните корени. Тук го прилагам наобратно. Имам корен от произведението тук отдясно. Всички знаем, че -1 по -1 е равно на 1. Следователно това е равно на корен квадратен от 1. Не забравяй, че този знак означава квадратен корен – положителния корен квадратен – който е плюс 1. Оттук заключват, че е грешно. Очевидно -1 и 1 не са равни. Според тях заради това не може да се направи заместването от тази стъпка. Но трябва да посочим, че не тази е неправилната стъпка. Наистина -1 не е равно на 1, но логическата грешка всъщност е при използването на това правило за отрицателни и а, и b, което не е вярно. Не се прилага при две отрицателни числа. Обикновено когато се дава това правило, понякога тази забележка е някъде отстрани и може да я пропуснеш като неприложима за числата, с която го учиш. Но обикновено се споменава, че правилото важи за a и b, по-големи или равни на 0. Когато се въвежда това правило, се казва, че е вярно за неотрицателни числа. По-точно е да се каже, че то не важи за отрицателни числа, ако и a, и b са отрицателни. В последните три минути обясних защо грешат тези, които наричат това определение грешно. И въпреки това, трябва да внимаваш с него. Особено когато се занимаваме с обичайните положителни квадратни корени. Например когато търсим корен квадратен от 4. Знаем, че той е 2, но 4 всъщност има два квадратни корена. Негов корен също е и -2. Защото -2 по -2 също е равно на 4. Този знак означава основен квадратен корен. Или когато става въпрос за реални числа, а не за имагинерни или комплексни числа, можем да го наречем положителен квадратен корен. Числото 4 има два квадратни корена, + и - 2. Когато е използван този знак, това означава да вземем основния корен квадратен, +2. Когато започваш да използваш квадратен корен от отрицателни числа, или вбъдеще дори от имагинерни и от комплексни числа и така нататък, трябва да разшириш определението за това какво означава този знак. Когато взимаме квадратен корен от което и да е отрицателно число, вече не използваме квадратния корен по начина, с който сме свикнали. Той вече е в друг смисъл в множеството на комплексните числа. Тук коренът приема комплексни аргументи и стойностите му също могат да са имагинерни или комплексни числа. Може да предположиш, че квадратен корен от (-х) е равно на i по корен от х. Вече трябва да е ясно, че това няма да е вярно ако и а, и b са отрицателни. Така че това равенство е приложимо само за х по-голямо или равно на 0. Ако х е неотрицателно число, то (-х) очевидно е отрицателно или може да бъде 0. То не е положително. Но тогава пък можем да приложим това равенство. Ако х е по-малко от 0, то щяхме да имаме тези безсмислици и да получим безсмислени отговори. Като мислиш по този начин, че i може да е корен квадратен от -1, ако то е основният резултат от използването на квадратния корен от комплексно число, то можем да преобразуваме това като корен от (-1) по корен от х. Тази логика има грешка, щом -1 не може да е равно на 1 и проблемът е в прилагането на това свойство за отрицателни и а, и b, за две отрицателни числа. Тогава следва безспорно грешен резултат. Ако разшириш определението за основен квадратен корен, за да включва комплексни аргументи и имагинерни числа, тогава ще може да е така. Можем да разложим корен от (-х) до корен от (-1)... или по-точно, разлагаме основния корен квадратен от (-х), тъй като трябва да използвам термините точно, това е основният квадратен корен от (-1) по основния квадратен корен от х, когато х е по-голямо или равно на 0. За да не те обърквам, ако х е по-голямо или равно на 0, това (-х) ще бъде отрицателно или нула, по-точно ще е неположително число.