Опростяване на корените от отрицателни числа

Нека опростим квадратния корен от (–52). Тъй като под радикала имаме (–52), ще приемем, че става дума за комплексни числа. Ще добавим отрицателните числа към дефиниционното множество на тази функция, за да имаме имагинерни или комплексни резултати. Числото –52 ще представим като –1 по 52. Търсеното може да се представи като корен от (–1 по 52). Като приемем, че тук говорим за корен квадратен от комплексно число, това става корен от –1, умножено по корен от 52. Искам да съм съвсем ясен кога можеш да направиш това. Ако имаш корен от произведението на две числа, можеш да го представиш като произведение на корените на всяко от тези числа. Но това се прави, само ако и двете числа са положителни или ако само едното от тях е отрицателно. Не можеш да приложиш правилото за две отрицателни числа. Например не можеш да направиш така: да кажеш, че корен от 52 е равен на произведението на корените от -1 и -52. Само до тази стъпка не е грешно, 52 определено е –1 по –52. Тъй като и двете са отрицателни, не можем да разложим нататък до произведението на корен от –1 по корен от –52. Ако опиташ да продължиш тази нишка на разсъждение, ще получиш безсмислен отговор. Това не става. Не можеш да правиш такова нещо. Причината, поради която не се прави така, е, че свойството не работи за две отрицателни числа. Вече знаем, че можем да го приложим, когато само едното е отрицателно или и двете числа са положителни. Положителният квадратен корен от –1, тук сме в множеството на комплексните числа, това е числото i. Този корен се опростява до i. Да помислим дали можем да опростим и корена от 52. За целта ще разложим 52 на прости множители, за да потърсим точни квадрати в това разлагане. 52 е 2 по 26, а 26 е 2 по 13. Имаме 2 по 2, или 4, което е точен квадрат. Можем да напишем израза като положителният корен от –1, или i, защото другият корен от –1 е –i, но тук искаме положителния корен. Това е умножено по корен от (4 по 13). Това е равно на i по корен от 4, тук взимаме положителния корен от 4, по корен от 13. Положителният корен от 4 е 2. Можем да разместим подредбата. Това е равно на 2 по корен от 13, по положителния квадратен корен от 13, по i. Просто разместих реда. Така е по-прегледно. Поставих i накрая, след числата. Но това е същото като i по 2 по корен от 13. Равно е на 2 по положителния корен квадратен от 13, по i. Така е възможно най-опростено.